2014年全国高考文科数学试题及答案-天津卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 是虚数单位，复数（ ）

1. B.C.D.

2. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）

1. 2 B. 3 C. 4 D. 5

1. 已知命题（ ）

1. B.

C.D.

1. 设则（ ）

1. B.C.D.

1. 设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）

A.2 B.-2 C. D .

1. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）

1. B.C.D.

1. 如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（ ）
   A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④
   8. 已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（ ）
   1. B.C.D.

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.

10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.

11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.

12. 函数的单调递减区间是________.

13. 已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，.若，则的值为________.

1. 已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______

1. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

1. （本小题满分13分）

某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

1. 用表中字母列举出所有可能的结果
2. 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.

16、（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为，已知，

1. 求的值；
2. 求的值.

17、（本小题满分13分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.

1. 证明平面；
2. 若二面角P-AD-B为，

1. 证明：平面PBC⊥平面ABCD
2. 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

18、（本小题满分13分）

设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.

1. 求椭圆的离心率；
2. 设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.

19. （本小题满分14分）

已知函数

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围

20.（本小题满分14分）

已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，

1. 当时，用列举法表示集合A；
   （2）设其中证明：若则.
   

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   参考答案
   一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
   1. A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。

9. 6010.11. -412.13. 214. （1，2）

三、解答题：

15.本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查运用概率只是解决简单实际问题的能力。满分13分。

解：（Ⅰ）从6名同学汇总随机选出2人参加只是竞赛的所有可能结果为

,

，共15种。

（Ⅱ）选出的2人来自不同年纪且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为

，共6种。

因此，事件发生的概率

16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力，满分13分。

解：（Ⅰ）在中，由，及，可得，

又由，有

所以，

（Ⅱ）在中，由，可得，于是

所以，

17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。

（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，

因为为中点，故且，由已知有，又由于为中点，因而且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，而平面，所以平面

（Ⅱ）

（ⅰ）证明：连接，

因为，而为中点，故，

所以为二面角的平面角。

在中，由，可解得，

在中，由，可解得，

在中，由，由余弦定理，可解得，

从而，即，

又，从而，因此平面。

又平面，所以，平面平面

（ⅱ）解：连接，由（ⅰ）知，平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，而，可得，故，又，故在直角三角形中，。

所以，直线与平面所成角的正弦值为

18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。

（Ⅰ）解：设椭圆右焦点的坐标为，由，可得，

又，则

所以，椭圆的离心率

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，故椭圆的方程为

设，由，有

由已知，有，即，又，故有

①

因为点在椭圆上，故

②

由①和②可得，而点捕食椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为

设圆的圆心为，则，进而圆的半径

由已知，有，又，故有

解得

所以，所求椭圆的方程为

19.本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的性质，考查化归思想、分类讨论思想、函数思想。考查综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。

（Ⅰ）解：由已知，有

令，解得或

当变化时，的变化情况如下表：

		0
	-	0	+	0	-
		0

所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，，

当时，有极小值，且极小值；

当时，有极大值，且极大值

（Ⅱ）解：由及（Ⅰ）知，当时，；当时，

设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，.

下面分三种情况讨论：

（1）当，即时，由可知，，而，所以不是的子集。

（2）当，即时，有，

且此时在上单调递减，故，因而；

由，有在上的取值范围包含，则

所以，

（3）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。

综上，的取值范围是

20.本小题主要考查集合的含义与表示，等比数列的前项和公式，不等式的证明等基础只是和基本方法。考查运算能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分。

（Ⅰ）解：当时，

可得，

（Ⅱ）证明：由，，及，可得

所以，