2014年全国高考文科数学试题及答案-广东卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学 (文科)

一、选择题

1. 已知集合
   1. B.C.D.
      2. 已知复数满足，则（）
      1. B.C.D.

3. 已知向量，则（）

A.（-2，1）B.（2，-1）C.（2，0）D.（4，3）

4. 若变量满足约束条件，则的最大值等于（）

A.7B.8C.10D.11

5. 下列函数为奇函数的是（ ）

A.B.C.D.

6. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）

A.50B.40C.25D.20

7. 在中，角所对应的边分别为，则“”是“”的（）

A.充分必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.非充分非必要条件

8. 若实数满足，则曲线与曲线的（）

A.实半轴长相等B.虚半轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

9. 若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（）

A.B.

C.与既不垂直也不平行D.与的位置关系不确定

10. 对任意复数，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，有如下四个命题：

①②；

③④；

则真命题的个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

(一)必做题（11-13）

11. 曲线在点（0，-2）处的切线方程为______________________

12. 从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为__________________

13. 等比数列的各项均为正数，且，则________.

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与交点的直角坐标为____________________

15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，则=____________

1. 解答题

16.(本小题满分12分)

已知函数，且

1. 求的值；
2. 若，求

17. 某车间20名工人年龄数据如下表:

（1）求这20名工人年龄的众数与极差；

（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

（3）求这20名工人年龄的方差。

18. 如图2，四边形ABCD为矩形，，，做如图3折叠：折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后，点叠在线段上的点记为，并且。

（1）证明：

（2）求三棱锥的体积。

19. 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有

20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。

21. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，试讨论是否存在，使得

参考答案

1.B2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.D10.B

11.12.13. 514. （1，2）15. 3

16.(本小题满分12分)

解：

（1）

（2）由（1）得：

17.解：

（1）这20名工人年的众数为30，极差为40-19=21

（2）茎叶图如下:

（3）年龄的平均数为：

故这20名工人年龄的方差为：

=12.6

18.（1）证明：

又

（2）解：

又易知

从而

，即

19.解：

（1）令，得：，

即，

，所以，即

（2）由，得

，

，从而，

所以，当时，

又，

（3）当时，

20.解：

（1）

所以，椭圆的标准方程为：

（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，

它们的坐标分别为，

若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为，

即，将之代入椭圆方程中，并整理得：

，

依题意，

即：

即：

因为两切线相互垂直，所以，即

所以，显然这四点也满足以上方程，

所以，点的轨迹方程为：

21.解：

（1），方程的判别式，

所以，当时，，此时在上为增函数；

当时，方程的两根为

当时，，此时为增函数；

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数；

综上时，在上为增函数；

当时，的单调递增区间为，

的单调递减区间为

（2）

所以，若存在，使得，

必须在上有解，

方程的两根为，

因为，所以只能是

依题意，，即

所以，即

又由，得，故欲使满足题意的存在，则

所以，当时，存在唯一的满足

当时，不存在使得