2014年全国高考理科数学试题及答案-四川卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

理科数学

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，集合为整数集，则

A．B．C．D．

2．在的展开式中，含项的系数为

A．B．C．D．

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

4．若，，则一定有

A．B．C．D．

5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为

A．B．C．D．

6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有

A．种 B．种 C．种 D．种

7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则

A．B．C．D．

8．如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A．B．

C．D．

9．已知，。现有下列命题：

①；

②；

③。其中的所有正确命题的序号是

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数。

12．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则。

13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，，，，）

14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 。

15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则。其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数。

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值。

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。

（1）证明：为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值。

19．设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。

20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点。

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ⅱ）当最小时，求点T的坐标。

21．已知函数，其中，为自然对数的底数。

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．A2．C3．A4．D5．C6．B7．D8．B9．C10．B

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．

12．

13．

14．

15．①③④

三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数。

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值。

解：（1）由

所以的单调递增区间为（）

（2）由

因为

所以

又是第二象限角，所以或

① 由（）

所以

② 由

所以

综上，或

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：（1）可能取值有，10，20，100

，，

，

故分布列为

		10	20	100
P

（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是

则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是

（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是

分

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。

（1）证明：为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值。

解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：

平面平面，

设为的中点，连接，

于是，所以平面

因为，分别为线段，的中点，所以，又，故

假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线

从而平面，这与矛盾

所以为线段的中点

（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，

于是，，

设平面和平面的法向量分别为和

由，设，则

由，设，则

所以二面角的余弦值

19．设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。

解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为

所以

因为点在函数的图象上，所以，所以

又，所以

（2）由

函数的图象在点处的切线方程为

所以切线在轴上的截距为，从而，故

从而，，

所以

故

20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点。

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ⅱ）当最小时，求点T的坐标。

解：（1）依条件

所以椭圆C的标准方程为

（2）设，，，又设中点为

（ⅰ）因为，所以直线的方程为：

所以

于是，

所以。因为

所以，，三点共线

即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）

（ⅱ），

所以，令（）

则（当且仅当时取“”）

所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或

21．已知函数，其中，为自然对数的底数。

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围

解：（1）因为所以又

因为，所以：

① 若，则，，

所以函数在区间上单增，

② 若，则，

于是当时，当时，

所以函数在区间上单减，在区间上单增，

③ 若，则，

所以函数在区间上单减，

综上：在区间上的最小值为

（2）由，又

若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间

由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。

若，则

令（）

则。由

所以在区间上单增，在区间上单减

即恒成立

于是，函数在区间内至少有三个单调区间

又所以

综上，的取值范围为