2015年全国高考文科数学试题及答案-四川卷

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝

1. {x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}

2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝

1. 2 (B)3 (C)4 (D)6

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

1. 抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法

4、设a,b为正实数，则“a＞b＞1”是“”的

1. 充要条件 (B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是

1. y＝sin(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)

(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx

6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为

1. －(B)

(C)－(D)

7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则|AB|＝

1. (B)2 (C)6 (D)4

8、某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(e＝2.718…为自然对数的底数，为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是

1. 16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)28小时

9、设实数x,y满足，则的最大值为

1. (B) (C)12 (D)16

10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是

1. (1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、设i是虚数单位，则复数＝_____________.

12、的值是_____________.

13、已知，则的值是______________.

14、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是______.

15、已知函数(其中).

对于不相等的实数，设，，

现有如下命题：

①对于任意不相等的实数，都有；

②对于任意的及任意不相等的实，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数，使得。

其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)

设数列（n=1,2,3…）的前项和满足，且成等差数列。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，求.

17、(本小题满分12分)

一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.

（Ⅰ）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）

乘客
座位号	3	2	1	4	5
	3	2	4	5	1

（Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客坐到5号座位的概率。

18、(本小题满分12分)

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。

（Ⅰ）请按字母标记在正方体相应地顶点处（不需说明理由）；

（Ⅱ）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅲ）证明：直线平面

19、(本小题满分12分)

已知A、B、C为的内角，是关于方程的两个实根.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的值

20、(本小题满分13分)

如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

21、(本小题满分14分)

已知函数，其中.

（Ⅰ）设为的导函数，讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.A2.B3.C4.A5.B

6.D7.D8.C9.A10.D

二、填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分25分。

11.12. 213. -114.15. ①④

三、解答题：共6小题，共75分。

16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。

解：

（Ⅰ）由已知，有

，

即

从而

又因为成等差数列，即

所以，解得

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列

故

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以

17．本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。

（Ⅰ）余下两种坐法如下表所示：

乘客
座位号	3	2	4	1	5
	3	2	5	4	1

（Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：

乘客
座位号	2	1	3	4	5
	2	3	1	4	5
	2	3	4	1	5
	2	3	4	5	1
	2	3	5	4	1
	2	4	3	1	5
	2	4	3	5	1
	2	5	3	4	1

于是，所有可能的坐法共8种。

设“乘客坐到5号座位”为事件，则事件中的基本事件的个数为4

所以

答：乘客坐到5号座位的概率是

18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力。

（Ⅰ）点的位置如图所示。

（Ⅱ）平面平面，证明如下：

因为为正方体，所以，

又，所以，

于是为平行四边形

所以

又平面平面，

所以平面

同理平面

又

所以平面平面

（Ⅲ）连接

因为为正方体，所以平面

因为平面，所以

又，所以平面

又平面，所以

同理

又，

所以平面

19. 本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。

（Ⅰ）由已知，方程的判别式

所以或

由韦达定理，有

于是，

从而

所以，

所以

（Ⅱ）由正弦定理，得

，

解得，或（舍去）

于是

则

所以

20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。

（Ⅰ）由已知，点的坐标分别为

又点的坐标为，且，

于是解得

所以椭圆方程为

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为的坐标分别为

联立得

其判别式，

所以，

从而，

所以，当时，

此时，为定值

当直线斜率不存在时，直线即为直线

此时，

故存在常数，使得为定值

21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。

（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，

，

所以

当时，单调递减；

当时，单调递增

（Ⅱ）由，解得

令，

则

于是，存在，使得

令，其中

由知，函数在区间上单调递增

故

即

当时，有

再由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，

当时，，从而；

当时，，从而；

又挡时，

故时，

综上所述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。