2015年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知（为虚数单位），则复数

1. B.C.D.

2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是

A.3B.4C.5D.6

3.设，则“”是“”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若变量满足约束条件则的最小值为

A.-1 B.0 C.1 D.2

5.执行如图2所示的程序框图，如果输入，则输出的

A.B.C.D.

1. 若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为
   1. B.C.D.

7. 若实数满足，则的最小值为

1. B.2 C.2D.4
   8. 设函数，则是
   A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数
   C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数
   9. 已知点在圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为
   A.6 B.7 C.8 D.9
   10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）
   1. B.
      C.D.
      二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
      11. 已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则________
      12. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为______
      13. 若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________.
      14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是____________
      15. 已知，在函数与的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则=________.
      三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
      16.（本小题满分12分）
      某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
      （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
      （Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
      17. （本小题满分12分）
      设△ABC的内角的对边分别为.
      （Ⅰ）证明：；
      （Ⅱ）若，且为钝角，求.
      18.（本小题满分12分）
      如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.
      （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面；
      （Ⅱ）若直线与平面所成的角为45°，求三棱锥的体积.
      19．（本小题满分13分）
      设数列的前项和为，已知，且.
      （Ⅰ） 证明：；
      （Ⅱ） 求。
      20.（本小题满分13分）
      已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为2.过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。
      （Ⅰ）求的方程；
      （Ⅱ）若，求直线的斜率。
      21.（本小题满分13分）
      已知，函数。记为的从小到大的第个极值点。
      （Ⅰ）证明：数列是等比数列；
      （Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围。
      

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      参考答案
      一、选择题：
      1. D2.B3.C4.A5.B

6.D7.C8.A9.B10.A

二、填空题：

11. {1，2，3}12.13. 2

14. （0，2）15.

三、解答题：

16．解：

（Ⅰ）所有可能的摸出结果是

（Ⅱ）不正确。理由如下：

由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为

共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确。

17.解：

（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以

（Ⅱ）因为

所以

由（Ⅰ），因此。又为钝角，所以，故。

由知。从而

综上所述，

18. 解：

（Ⅰ）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又是正三角形的边的中点，所以

因此平面

而平面，所以，平面平面

（Ⅱ）设的中点为，连结

因为是正三角形，所以

又三棱柱是直三棱柱，所以

因此平面，于是为直线与平面所成的角

由题设，，所以

在中，，所以

故三棱锥的体积

19．解：

（Ⅰ）有条件，对任意，有

，

因而对任意，，有

两式相减，得，即

又，所以

故对一切，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列；

数列是首项，公比为3的等比数列，因此

于是

从而

综上所述，

20．解：

（Ⅰ）由知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以

①

又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以

②

联立①②得，故的方程为

（Ⅱ）如图，设

因与同向，且，所以，从而，即，于是

③

设直线的斜率为，则的方程为

由得，而是这个方程的两根，所以

④

由得，而是这个方程的两根，所以

⑤

将④⑤代入③，得，即

，

所以，解得，即直线的斜率为

21．解：

（Ⅰ）

其中

令，由得，即

对，若，即，则；

若，即，则

因此，在区间与上，的符号总相反，于是

当时，取得极值，所以

此时，，易知，而

是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列。

（Ⅱ）对一切恒成立，即恒成立，亦即

恒成立（因为）

设，则，令得

当时，，所以在区间（0,1）上单调递减；

当时，，所以在区间上单调递增。

因为，且当时，，所以

因此，恒成立，当且仅当

解得。故的取值范围是。