2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
   （1）设复数z满足=i，则|z|=
   （A）1 （B）（C）（D）2
   （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=
   （A）（B）（C）（D）
   （3）设命题P：nN，>，则P为
   （A）nN,>（B）nN,≤
   （C）nN,≤（D）nN,=
   （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
   （A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312
   （5）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是
   （A）（-，）（B）（-，）
   （C）（，） （D）（，）
   （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
   
   A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
   （7）设D为ABC所在平面内一点，则
   （A）(B)
   （C）(D)
   （8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
   1. (B)

(C)(D)

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

1. 的展开式中，的系数为

（A）10（B）20（C）30（D）60

1. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则=
   
   （A）1（B）2（C）4（D）8
   12. 设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
   1. B.C.D.

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数为偶函数，则

（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为 。

（15）若满足约束条件则的最大值为 .

（16）在平面四边形中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

为数列的前项和.已知，

（Ⅰ）求的通项公式：

（Ⅱ）设,求数列的前项和。

（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，

（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

1. 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系中，曲线与直线交与两点，

（Ⅰ）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是的直径，是的切线，交于

1. 若D为AC的中点，证明：DE是的切线；
2. 若，求∠ACB的大小. 

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

1. 求，的极坐标方程；
2. 若直线的极坐标方程为，设与的交点为,,求的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围

一．选择题

（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B

（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D

二．填空题

（13）1（14）（15）3（16）

三．解答题

（17）解：

（Ⅰ）由，可知

可得，即

由于，可得

又，解得（舍去），

所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为…………………6分

（Ⅱ）由可知

设数列的前项和为，则

…………………………………………………………………………12分

（18）解：

（Ⅰ）连结BD，设，连结

在菱形中，不妨设，由，可得

由平面，，可知，又，所以，且

在中，可得，故

在中，可得，

在直角梯形中，由，可得

从而，所以

又，可得平面

因为平面，所以平面平面…………………………6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，

所以…………………………………10分

故

所以直线与直线所成角的余弦值为…………………………12分

（19）解：

（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型………………2分

（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于

所以关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程…………………………………………6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值

年利润的预报值

…………………………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值

所以，当，即时，取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设可得，或

又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为，即

在处的导数值为，在点处的切线方程为，即

故所求切线方程为和…………………5分

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设为符合题意的点，，直线的斜率分别为

将代入的方程得

故

从而

当时，有，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故，所以点符合题意…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，即

解得

因此，当时，轴为曲线的切线…………………………5分

（Ⅱ）当时，，从而，

故在无零点

当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点。

当时，。所以只需考虑在的零点个数。

（ⅰ）若或，则在（0，1）无零点，故在（0，1）单调，而，所以，当时，在（0，1）有一个零点；当时，在（0，1）没有零点。

（ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，故在（0，1）中，当时，取得最小值，最小值为。

①，即，在（0，1）无零点；

②，即，则在（0，1）有唯一零点；

③，即，由于，所以当时，在（0，1）有两个零点；当时，在（0，1）有一个零点………………………………………………10分

综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点……………………………12分

（22）解：

（Ⅰ）连结，由已知得，

在中，由已知得，，故

连结，则

又，所以，故，是的切线……………………………………5分

（Ⅱ）设，由已知得

由射影定理可得，，所以，即

可得，所以……………………………10分

（23）解：

（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为……………………………5分

（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即

由于的半径为1，所以的面积为………………………10分

（24）解：

（Ⅰ）当时，化为

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得；

当时，不等式化为，解得

所以的解集为…………………5分

（Ⅱ）由题设可得，

所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为

由题设得，故

所以的取值范围为………………………………10分