2015年全国高考理科数学试题及答案-重庆卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数 学（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合A=,B=，则

A、A=B B、AB=C、AB D、BA

2、在等差数列中，若=4，=2，则=

A、-1 B、0 C、1 D、6

3、重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是

A、19 B、20 C、21.5 D、23

4、 “”是“”的

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A、B、

C、D、

6、若非零向量满足，且，则与的夹角为

A、B、

C、D、

7、执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是

A、B、

C、D、

8、已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则

A、2 B、 C、6 D、

9、若，则

A、1 B、2 C、3 D、4

10、设双曲线的右焦点为，过作的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

A、B、

C、D、

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11、设复数的模为，则________.

12、的展开式中的系数是________(用数字作答).

13、在中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14、如题（14）图，圆的弦相交于点，过点作圆的切线与的延长线交于点，若，，，，则_______.

15、已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线C的交点的极坐标为_______.

16、若函数的最小值为5，则实数_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）讨论在上的单调性.

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4要，（Ⅱ）小问9分）

如题（19）图，三棱锥中，平面，，.分别为线段上的点，且

（Ⅰ）证明：平面

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）

设函数

（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围。

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且

（Ⅰ）若，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若求椭圆的离心率

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

在数列中，

（Ⅰ）若求数列的通项公式；

（Ⅱ）若证明：

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一、选择题：每小题5分，满分50分。

1.D2.B3.B4.B5.A

6.A7.C8.C9.C10.A

二、填空题：每小题5分，满分25分。

11. 312.13.

14. 215.16. -6或4

三、解答题：满分75分。

17．（本题13分）

解：（Ⅰ）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有

（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，且

，

，

.

综上知，的分布列为

	0	1	2

故（个）

18.（本题13分）

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）当时，，从而

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减.

综上可知，在上单调递增；在上单调递减.

19.（本题13分）

（Ⅰ）证明：由平面平面，故.

由得为等腰直角三角形，故.

由垂直于平面内两条相交直线，故平面.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，为等腰直角三角形，.

如图，过作垂直于，易知，又已知，故.

由得，故.

以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.

设平面的法向量为，

由，得故可取.

由（Ⅰ）可知平面，故平面的法向量可取为，即.

从而法向量的夹角的余弦值为

，

故所求二面角的余弦值为.

20.（本题12分）

解：（Ⅰ）对求导得

因为在处取得极值，所以，即.

当时，，故，从而在点处的切线方程为，化简得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

令，

由解得

当时，，即，故为减函数；

当时，，即，故为增函数；

当时，，即，故为减函数.

由在上为减函数，知，解得，

故的取值范围为

21.（本题12分）

解：（Ⅰ）由椭圆的定义，，故.

设椭圆的半焦距为，由已知，

因此，

即，从而.

故所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）解法一：如图，设点在椭圆上，且，则

，

求得.

由得，

从而

由椭圆的定义，.

从而由，有.

又由，知，

因此，即，

于是，解得

解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，.

从而由，有

又由，知，

因此，得，

从而.

由，知，因此

22.（本题12分）

解：（Ⅰ）由，有.

若存在某个，使得，则由上述递推公式易得.重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意.

从而，即是一个公比的等比数列.

故

（Ⅱ）由，数列的递推关系式变为

，变形为.

由上式及，归纳可得

.

因为，所以对

求和得

另一方面，由上已证的不等式知，得

综上，