2019年天津卷文科数学高考真题.docx

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么.

·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.

·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设集合，则

（A）{2}（B）{2，3}（C）{-1，2，3}（D）{1，2，3，4}

（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为

（A）2（B）3（C）5（D）6

（3）设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

（A）5（B）8（C）24（D）29

（5）已知，则a，b，c的大小关系为

（A）（B）

（c）（D）

（6）已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为

（A）（B）（C）2（D）

（7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则

（A）-2（B）（C）（D）2

（8）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为

（A）（B）（C）（D）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）i是虚数单位，则的值为__________.

（10）设，使不等式成立的x的取值范围为__________.

（11）曲线在点处的切线方程为__________.

（12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

（13）设，则的最小值为__________.

（14）在四边形中，，点E在线段的延长线上，且，则__________.

三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

（16）（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.

（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线AD与平面所成角的正弦值.

（18）（本小题满分13分）

设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且，求椭圆的方程.

（20）（本小题满分14分）

设函数，其中.

（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点；

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）参考解答

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1）D（2）C（3）B（4）B

（5）A（6）D（7）C（8）D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）（10）（11）

（12）（13）（14）

三.解答题

（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.

（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

，共15种.

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为

，共11种.

所以，事件M发生的概率.

（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.

（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故

.

（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分.

（Ⅰ）证明：连接，易知，.又由，故.又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.

（Ⅱ）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面平面PCD，平面平面，所以平面PAC，又平面PAC，故.又已知，，所以平面PCD.

（Ⅲ）解：连接AN，由（Ⅱ）中平面PAC，可知为直线与平面PAC所成的角，

因为为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以.又，

在中，.

所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.

（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意，得解得故.

所以，的通项公式为，的通项公式为.

（Ⅱ）解：

.

记

则

②−①得，.

所以，

.

（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去得，解得.

所以，椭圆的离心率为.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，故椭圆方程为.由题意，，则直线的方程为点P的坐标满足消去并化简，得到，解得.代入到的方程，解得.因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设.因为，且由（Ⅰ）知，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆与相切，得，可得.

所以，椭圆的方程为.

（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且

.

因此当a≤0时，，从而，所以在内单调递增.

（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在内单调递减，又，且

.

故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而

，

又因为，所以在内有唯零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

（ii）由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是

，

整理得.