2015届海南嘉积中学高考数学（文）模拟测试题（二）

2014-2015学年度第二学期海南省嘉积中学高三模拟测试（二）

高三年级数学科试题（文科）

（考试时间：120分钟 满分：150分）

欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)

1．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x²－2x－3≤0}，则A∩(∁_RB)＝(　　)

A．(1,4)B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)

2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

3．执行如图所示的程序框图，则输出的T值为(　　)

A．30B．54C．55 D．91

4．将函数y＝sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)

A．y＝sinxB．y＝sin(2x－) C．y＝sin(x－)D．y＝sin(x－)

5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　 )

1. B. C. D．1

6.“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y²＝xz”成立的(　　)

A．充分非必要条件　　　B．必要非充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方

形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为(　)

A.B.＋ C. D.＋

8．在△ABC中，如果sinA＝sinC，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为(　　)

A．4　　 　　B．1　　　 　C.　　　 　D．2

9．设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为(　　)

A．B.2 C．3 D.

10．过已知双曲线－＝1(b>0)的左焦点F₁作⊙O₂：x²＋y²＝4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D．2

11. 已知函数f(x)＝|2^x－1|，当a＜b＜c时，f(a)＞f(c)＞f(b)，那么正确的结论是(　　)

A．2^a＞2^bB．2^a＞2^cC．2^－a＜2^cD．2^a＋2^c＜2

12．1已知正三棱锥P－ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为(　　)

A. B. C.D.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)

13．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，且λb－a与a垂直，则实数λ＝________.

14. 设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝_______________.

15．已知抛物线x²＝4y上的动点P在x轴上的射影为点M，点A(3,2)，则|PA|＋|PM|的最小值为________．

16．设x、y∈R，a>1，b>1，若a^x＝b^y＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为___________.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分12分)已知正项数列{a_n}满足4S_n＝(a_n＋1)².

(1) 求数列{a_n}的通项公式；

(2) 设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和T_n.

18．(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示.

(1) 根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值

与方差，并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定；

(2) 若从蓝军6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人

的成绩之差不超过2的概率．

19. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝2AB＝2，且BC₁⊥A₁C.

(1) 求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；

(2) 设D是A₁C₁的中点，判断并证明在线段BB₁上是否存在点E，使

DE∥平面ABC₁；若存在，求三棱锥E－ABC₁的体积．

20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y²＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．

(1) 求证：y₁y₂为定值；

(2) 若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB

面积的最小值．

21．(本小题满分12分)．函数f(x)＝2ax－x²＋lnx，a为常数．

(1) 当a＝时，求f(x)的最大值；

(2) 若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答。

22. (本小题满分10分)已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1.

(1)求证：AC平分∠BAD；

(2)求BC的长．

23．(本小题满分10分)，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)．

(1) 求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

(2) 设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积。

24．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.

(1) 当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；

(2) 已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

2014-2015学年度第二学期高三模拟测试（二）

高三年级数学科答案（文科）

（考试时间：120分钟 满分：150分）

欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)

BACDB ABCAD DC

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)

13．　 14. 4 15．－1 16．1

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分12分)

[解析]　(1)∵4S_n＝(a_n＋1)²，

∴4S_n－1＝(a_n－1＋1)²(n≥2)，

相减得a_n－a_n－1＝2，（3分）又4a₁＝(a₁＋1)²，

∴a₁＝1，（5分）∴a_n＝2n－1. （6分）

(2)由(1)知，b_n＝

＝(－)．

所以T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.（12分）

18．(本小题满分12分)

[解析]　(1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙，则

_甲＝(107＋111＋111＋113＋114＋122)＝113，

_乙＝(108＋109＋110＋112＋115＋124)＝113， （2分）

S＝[(107－113)²＋(111－113)²＋(111－113)²＋(113－113)²＋(114－113)²＋(122－113)²]＝21.

S＝[(108－113)²＋(109－113)²＋(110－113)²＋(112－113)²＋(115－113)²＋(124－113)²]＝.（4分）

∵_甲＝_乙，S<S，

∴红军的射击成绩相对比较稳定． （6分）

(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人，共有15种不同的取法，其成绩情况如下：

(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)． （9分）

设A表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”，则A的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)， （11分）

故所求概率为P(A)＝. （12分）

1. (本小题满分12分)

[解析]　(1)证明：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，有A₁A⊥平面ABC.∴A₁A⊥AC，又A₁A＝AC，∴A₁C⊥AC₁.

又BC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ABC₁，∵A₁C⊂平面A₁ACC₁，∴平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁. （6分）

(2)存在，E为BB₁的中点． （7分）

取A₁A的中点F，连EF，FD，当E为B₁B的中点时，EF∥AB，DF∥AC₁，

∴平面EFD∥平面ABC₁，则有ED∥平面ABC₁. （9分）

当E为BB₁的中点时，V_E－ABC1＝V_C1－ABE＝×2××1×1＝. （12分）

21．(本小题满分12分)

[解析]　(1)当直线AB垂直于x轴时，y₁＝2，y₂＝－2，因此y₁y₂＝－8. （2分）

当直线AB不垂直于x轴时，

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，

由，得ky²－4y－8k＝0，∴y₁y₂＝－8.

因此有y₁y₂＝－8为定值． （6分）

(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)，

∴DC＝4，S_△ADB＝DC·|y₁－y₂|.

当直线AB垂直于x轴时，S_△ADB＝×4×4＝8； （8分）

当直线AB不垂直于x轴时，

由(1)知y₁＋y₂＝，因此

|y₁－y₂|＝＝>4， （11分）

∴S_△ADB＝×4×|y₁－y₂|>8.

综上，△ADB面积的最小值为8. （12分）

22．(本小题满分12分)．

[解析]　(1)当a＝时，f(x)＝x－x²＋lnx，则f(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝1－2x＋＝（2分）

由f′(x)>0，得0<x<1；由f′(x)<0，得x>1；

∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．（4分）

∴f(x)的最大值为f(1)＝0. （5分）

(2)∵f′(x)＝2a－2x＋.

若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，

则f′(x)≥0，或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立． （7分）

∴2a－2x＋≥0，或2a－2x＋≤0在区间[1,2]上恒成立．

即2a≥2x－，或2a≤2x－在区间[1,2]上恒成立． （8分）

设h(x)＝2x－，∵h′(x)＝2＋>0，

∴h(x)＝2x－在区间[1,2]上为增函数．

∴h(x)_max＝h(2)＝，h(x)_min＝h(1)＝1， （10分）

∴只需2a≥，或2a≤1，

∴a≥，或a≤. （12分）

请考生在第22,23,24题中任选一题做答。

23.(本小题满分10分)

[解析]　(1)因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA＝∠CAD，∠OAC＝∠CAD，

所以AC平分∠BAD. （5分）

(2)连接CE，由(1)知BC＝CE，

因为ABCE四点共圆，∠B＝∠CED，

又由题意知∠ACB＝∠CDE＝90°，

所以△DCE∽△ABC，

所以＝，所以BC＝2. （10分）

24．(本小题满分10分)，

[解析]　(1)对于C：由ρ＝4cosθ得ρ²＝4ρcosθ，∴x²＋y²＝4x；对于l：由消去参数t得y＝(x－5)，即x－y－5＝0. （5分）

(2)由(1)可知C为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，

弦长|PQ|＝2＝，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积为S＝2d·|PQ|＝3.（10分）

25．(本小题满分10分)

＝

[解析]　(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|

当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；

当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；

所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}． （5分）

(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则

h(x)＝

由|h(x)|≤2，解得≤x≤.

又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，

所以于是a＝3. （10分）