2015年高考预测金卷（安徽卷）数学（理）试卷

2015年高考预测金卷（安徽卷）

理科数学

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数，则化简复数的结果是

A．

B．

C．

D．

2．已知p：α是第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q的

3．如图，若程序框图输出的S是126，则判断框①中应为 

A．	B．
C．	D．

4．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A．

B．

C．2

D．4

5．已知约束条件，若目标函数恰好在点处取得最大值，则a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零部件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

A．	B．
C．	D．

7．函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为

9．已知，，且，点P在线段P₁P₂的延长线上，则P点的坐标为

A．

B．

C．

D．

10．设函数的定义域是，其图象如图，那么不等式的解集为

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案写在题中横线上。

11．二项式的展开式中，含x⁴的项的系数为__________。

12．给出下列命题：

①角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则；

②存在，使；

③将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的函数关于成中心对称；

④与在区间上有且只有一个公共点。

其中错误的命题为__________。（把所有符合要求的命题序号都填上）

13．由曲线，直线，直线围成的封闭图形的面积为__________。

14．S_n是等比数列的前n项和，a₁=，9S₃=S₆，设T_n=a₁a₂a₃…a_n，则使T_n取最小值的n值为__________。

15．存在两条直线与双曲线相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，，。

（1）求的值；

（2）求ΔABC的面积。

17．（本小题满分12分）

已知数列的首项为a₁ = 1，前n项和为S_n，并且对于任意的n ≥ 2，3S_n - 4、a_n、总成等差数列。

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前n项和为T_n，求T_n。

18．（本小题满分12分）

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）。现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[

160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

（1）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

（2）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；

（3）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

参考数据：若，则

，

，

。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC = 2，AD = 1。M是棱SB的中点．

（1）求证：AM∥面SCD；

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率，且经过点，抛物线的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合。

（1）过F的直线与抛物线C₂交于M、N两点，过M、N分别作抛物线C₂的切线l₁、l₂，求直线l₁、l₂的交点Q的轨迹方程；

（2）从圆O：x²+y² = 5上任意一点P作椭圆C₂的两条切线，切点分别为A、B，试问∠APB的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数。

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为，的“活动函数”。

已知函数，。若在区间上，函数是，的“活动函数”，求a的取值范围。

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

11．10

12．①②④

13．

14．5

16．

三、解答题

16．解：（1）

（2）

17．法一 解：依题意有，即

即，即，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，所以

所以，

所以

法二：可退位作差求得

（2）由（1）可知所以＝

＝.

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）

（Ⅲ），

，0.0013×100 000=130.

所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人.

随机变量可取，于是

,,

. ………………………………（12分）

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，.

则.

设平面SCD的法向量是则

即

令，则，于是.

，.

AM∥平面SCD. ……………………………………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，

则，即.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………（8分）

（Ⅲ）设，则.

又，面SAB的法向量为，

所以，.

.

当，即时，.………………………………………（13分）

20．解：（1）当时，，

；…………2分

对于，有，

∴在区间[1, e]上为增函数，…………3分

∴，. …………5分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则

令<0，对恒成立，且=<0对恒成立，

∵…………7分

1）若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有∈(，+∞)，不合题意；…………9分

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；…………9分

2） 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，所以a.…………11分

又因为<0,在(1, +∞)上为减函数，，…………12分

综合可知的范围是.…………13分

21.（1）由于椭圆的离心率e=,则，，则，椭圆的方程为将点代入椭圆的方程得到c=1,故所求椭圆的方程为其焦点坐标为，则F(0，1),故抛物线的方程为……3分

易知直线MN的斜率一定存在，设为k，则直线MN的方程为y=kx+1,代入抛物线的方程得到。设，则……4分

由于，故直线的斜率为，的方程为即，同理可得直线的方程为，令，即显然，故，即点Q的横坐标是，点Q的纵坐标是

，即点Q（2k,-1）,故点Q的轨迹方程是y=-1 ……6分

（2）当这两条切线中有一条切线的斜率不存在时，根据对称性，不妨设点P在第一象限，则此时点P的横坐标为，代入圆O的方程得点P的纵坐标是，因此这两条切线所在的方程分别为因此,所以若角APB的大小为定值，则这个定值只能是（8分）

当这两条切线的斜率都存在时，设点P，过点P的切线的斜率为，则切线方程为，由于直线是椭圆的切线，故整理得：……10分

设切线PA，PB的斜率分别为，则是上述方程的两个实根，故又点P在圆上，故所以，所以，……12分

综上可知，角APB的大小为定值，且这个定值为。……13分