2021浙江高考数学难不难
06月08日
2015广西高考压轴卷理科数学
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则
A.B.C.D.
2. 设复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3. 已知点,,,,则向量在方向上的投影为( )
4. 在△ABC中,则= ( )
A.B.C.D.
5. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )
6. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )
A.B.C.D.
7. 将6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
8.已知函数则曲线在点处的切线方程是( )
A.B.C.D.
9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,的最小值为( )
A.5 B.4 C.D.2
10..在直三棱柱中,A,D,E分别是和的中点,则直线DE与平面所成角为( )
A.B.C.D.
11.设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.3
12.已知为常数,函数有两个极值点,则( )
A.B.
C.D.
二.填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上)
13.设函数,其中,则的展开式中的系数为_______
14.关于函数有以下命题:
① 由得必定是的整数倍;
②的表达式可改写为;
③的图像关于点对称
④____________
15. 已知是定义域为R的偶函数,当时,那么,不等式的解集是 .
16. 已知圆,点在直线上,若过点存在直线与圆交于、两点,且点为的中点,则点横坐标的取值范围是 .
三.解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)已知数列满足,
(1) 求的通项公式; (2) 求数列的前项和.
18. (本小题满分12分)某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段,,,,(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;
(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量的分布列和数学期望和方差.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,,,,,分别为的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△的面积;若不存在,说明理由.
21(本题满分14分)已知函数,
(1)若求曲线在处的切线的斜率;
(2)求的单调区间;
(3)设若存在对于任意使求的范围。
请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22. (本题满分10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (选修4—1:几何证明选讲)
(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
23.(本小题满分10分)(选修4—4:坐标系与参数方程)
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,),若直线过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4为半径。
(I)求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。
(II)试判定直线与圆C的位置关系。
24. (本小题10分)(选修4-5:不等式选讲)
设函数的最大值为M.
(1)求实数M的值;
(2)求关于的不等式的解集.
数学(理)参考答案
一.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | A | C | C | B | D | A | B | A | B | D |
二.13. 15 ; 14.②,③;15.; 16 .
三:17.【解析】(1)由得
,
得……………………………5分
(2)
①
②
①②得
.……………………………10分
18.解:(Ⅰ)根据题意,参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为(人),参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为(人).所以抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为由已知得,随机变量的可能取值为.
所以;;
;.
随机变量的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
因为~,所以.…12分
19.【解析】(1)易知AB,AD,A P两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD, AP所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.设,则相关各点的坐标为:,,,,,. ………2分
从而,=,=. 因为,所以·=.
解得或(舍去). ………4分于是=(,1,-1),=(,1,0).
因为·=-1+1+0=0,所以⊥,即. ………6分
(2)由(1)知,=(,1,-2),=(0,2,-2).
设是平面PCD的一个法向量,则
即
令,则=(1,,). ………9分
设直线EF与平面PCD所成角为,则
=|〈,〉|=||=.
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为. ………12分
20. 【解析】(Ⅰ)由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为的椭圆.故曲线的方程为.
(Ⅱ)因为直线过点,可设直线的方程为或(舍).
则
整理得.·······················7分
设
解得
则
因为
···························10分
设
则在区间上为增函数
所以
所以,当且仅当时取等号,即
所以的最大值为·································13分
21.
解:
(I)
综上:的单调增区间为
的单调增区间为减区间为
一定符合题意,
当的单调增区间为减区间为
由题意知,只需满足
综上:
22.【解析】
(Ⅰ) 由题设知A、B、C、D四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E ,
所以D=E ……………5分
(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上,又AD不是⊙O的直径,M为AD中点,故OM⊥AD, 即MN⊥AD,所以AD//BC,故A=CBE, 又CBE=E,故A=E
由(Ⅰ)知D=E, 所以△ADE为等边三角形. ……………10分
23.【解析】(1)直线的参数方程(t为参数)
M点的直角坐标为(0, 4) 圆C的半径为4
圆C的方程 为 把代入
得圆C极坐标方程………………………………5分
(2)直线的普通方程为
圆心M到的距离为
∴直线与圆C相离。 ………………………………………10分
24.【解析】
(1)
=3,
当且仅当x=4时等号成立.
故函数的最大值M=3…………………………………5分
(2)由绝对值三角不等式可得.
所以不等式的解x就是方程的解.
由绝对值的几何意义得,当且仅当时,.