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云南省玉溪第一中学2015届高三5月仿真卷数学（理）试卷

浏览：编辑：晓云 2022-03-09 13:57

2015年普通高等学校招生统一考试（仿真卷）

理科数学

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1、已知集合，则集合（）

A．B．C．D．

2、已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、在等腰中，角的对边分别为，若，且，则的面积为（）

A．B．C．D．条件不足，无法计算

4、函数的零点所在的区间为（　　）

　 A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D．（3，4）

5、一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x，y）在这个平行四边形的内部或边上，则的最大值与最小值的和等于（　　）

　 A． 8 B．6 C．D．

6、执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )

A.23 B.11 C.5 D.2

7、以下四个命题中，真命题的个数是（　　）

①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；

②存在正实数，使得；

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；

④向量，则“”是“”的充要条件

A．0 B．1 C．2 D． 3

8、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的

表面积为（）

A．48 B．48+8

C．32+8 D． 80

9、已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象关于（　　）

A．点对称 B．直线对称 C．点对称 D．直线对称

10、将五种不同的文件随机放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件被放在相邻的抽屉内且文件被放在不相邻的抽屉内的种数有（）

A．120 B．240 C．480 D．720

11．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B，交其准线于点C，若，，则抛物线的方程为（　　）

　 A．B．C．D．

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数云南省玉溪第一中学2015届高三5月仿真卷数学（理）试卷被称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：

①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形

其中真命题的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）.

13、若的展开式中第四项为常数项，则

14、已知，则。

15、若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率等于。

16、四棱锥的底面为正方形，边长为，且，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为。

三、解答题（本大题共8个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17、(本小题满分12分)

已知数列满足,，.

（1）求证：是等差数列；（2）证明：.

18. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.

求乙得分的分布列和数学期望;
求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,

,且,

点在上.

求证:;
若二面角的大小为,求与平面

所成角的正弦值.

20．（本题满分12分）已知椭圆C：（，定义圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为。

求椭圆C的方程和“准圆”的方程；
点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求证：。

21. （本题满分12分）设，曲线在点处的切线与直线垂直.

求的值;
若对于任意的，恒成立，求的范围.
求证：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.
（I）证明：；
（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.
23、（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点C的极坐标为，点是以C为圆心，半径长为2的圆上任意一点，点，是线段的中点。当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的普通方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线（为参数）夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.
24、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）若不等式的解集为的子集，求实数的取值范围。
（2）若方程只有一个解，求实数的值。
云南省部分名校高三2015届5月份统一考试理科数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B C DABC A C B D C A B
13、5 14、15、16、
17. 【解】（1）
是以3为首项，2为公差的等差数列.…………6分
（2）由（1）知：
，
…12分
18. 【解】(1)设乙答题所得分数为,则的可能取值为.…………1分
-15 0 15 30
且
………5分
乙的得分的分布列如右表,且………8分
由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的
事件分别为,则由(1)知,,
又甲回答3题可以视为独立重复试验,故,
于是甲、乙至少有一人入选的概率…………12分
19. 【解】(1)如图,设为的中点,连结,
则,所以四边形为平行四边形,
故,又,
所以,故,
又因为平面,所以,
且,所以平面,故有…4分
(2)如图,以为原点,建立空间直角坐标系.
则,
设,易得,
设平面的一个法向量为,则,
令得，,即.
又平面的一个法向量为,
由题知,解得,………9分
即,而是平面的一个法向量,
设平面与平面所成的角为,则.
故直线与平面所成的角的正弦值为.…………12分
20．解：（1）由题意知c=，a=所以b=1，
所以椭圆C的方程为+y=1，椭圆C的准圆方程为x+y=4
（2）当直线中有一条斜率不存在时，不妨设的斜率不存在，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，则的方程为时，此时与准圆交于两点。此时的方程为或，显然直线与垂直。同理可证当的方程为直线与垂直。

21、【解】(1)
由题设，∴，.
(2),，，即
设，即.①若，，这与题设矛盾.
②若方程的判别式
当，即时，.在上单减，，不等式成立.
当时，方程，设两根为
，
当,单调递增，，与题设矛盾.
综上所述，.
由(2)知,当时,时,成立.