内蒙古赤峰市宁城县2015届高三3月统一考试（一模）数学（文）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页～第2页，第II卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）

1．设集合,，则等于（　 　）

（A）（B）（C）（D）

2．下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是（ ）

（A）（B）（C）（D）

3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）.

（A）9（B）10（C）19（D）29

4．已知向量，，则“且”是“”的

1. 充分不必要条件
2. 必要不充分条件
3. 充分必要条件
4. 既不充分也不必要条件
   5．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是
   （A）（B）（C）（D）
   6．在△ABC中，点G是△ABC的重心，若存在实数，使，则（ ）
   （A）（B）（C）（D）
   7. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是
   （A） 若，，则 （B） 若，，则
   （C） 若，，则 （D） 若，，则
   8．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有
   1. ，(B)，

(C)，(D)，

9．△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为( )

（A） (y≠0) （B） (y≠0)

（C） (y≠0) （D）(y≠0)

10． 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）

（A） 向左平移个单位长度

（B）向右平移个单位长度

（C） 向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度

11．已知直线按向量平移后得到的直线与曲线相切，则可以为

（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（0，2） （D）（2，0）

12．已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△是直角三角形，则实数的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（文科）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13． 若复数,,则.

14.若变量满足约束条件，则的最大

值是____________.

15. 给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与

输出的y 值相等, 则这样的x 值的集合为____________.

16．已知数列是递增数列，且对任意的自然数，恒成立，则实数的取值范围为．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17.（本题满分12分）

在中，内角对边分别为，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

18．（本题满分12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离．

19．（本题满分12分）

有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：

（I）求频率分布直方图中的值；

(Ⅱ) 分别求出成绩落在中的学生人数；

（III）从成绩在的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在中的概率．

20．（本题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 设直线与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若，求证为定值．

21.（本小题满分12分） 已知函数．

（Ⅰ）求函数的极小值；

（Ⅱ）过点能否存在曲线的切线，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点.若.

(Ⅰ)∥;

(Ⅱ)求的值.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线，过点的直线的参数方程为.直线与曲线分别交于.

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)若成等比数列,求实数的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的定义域；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

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宁城县高三年级统一考试(2015.03.20)

数学试题（文科）参考答案

1. 选择题：BABA BACB DCAD
2. 填空题：13、； 14、； 15、； 16、

三、解答题：17. 解：（Ⅰ）因为，由正弦定理

得：，

因为，所以---------------------------6分

（Ⅱ）因为，由正弦定理知①

由余弦定理得②

由①②得。 ------------------12分

18．解：（Ⅰ）由平面可得PAAC，

又，所以AC平面PAB，

所以． …………………………………… 4分

（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线，

所以EOPB．

又因为面，面，

所以PB平面． ……………………… 8分

（Ⅲ）取中点，连接．因为点是的中点，所以．

又因为平面，所以平面．

所以线段的长度就是点到平面的距离．

又因为，所以．

所以点到平面的距离为． ………………… 12分

19．解：（I）由题意，. ………2分

（II）成绩落在中的学生人数为，

成绩落在中的学生人数

成绩落在中的学生人数. ……………6分

（III）设落在中的学生为，落在中的学生为，

则，

基本事件个数为------------------------------------------------10分

设A＝“此2人的成绩都在”，则事件A包含的基本事件数，

所以事件A发生概率. ……… ……………12分

20．解：（Ⅰ），，

所以椭圆的方程是。--------------------------4分

（2）设，直线OP的方程为，

代入得，

即，--------------------6分

因为，我们以代换上式的得，，-----------8分

所以------------------10分

若不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，

--------------------------------11分

综上得出结论：---------12分

（注：本题结论变式为：

①求的最大值和最小值；②求原点在PQ上射影的轨迹；③求证原点到PQ的距离为定值；④求△POQ面积的最值；⑤椭圆上是否存在一点E，使得？……）

21.解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为，所以．

令，则．

		0
	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以． …………………6分

（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为，则切线方程为

即

将代入得．方程有解，等价于过点作曲线的切线存在．

令， 所以 ．

当时，．

所以 当时，，函数在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以 当时，，无最小值．

当时，方程有解；当时，方程无解．

综上所述，当时存在切线；当时不存在切线． ………………12分

22．解：(Ⅰ)连接OD，BC，设BC交OD于点M.

因为OA=OD,所以OAD=ODA;----------2分

又因为OAD=DAE,所以ODA=DAE

所以OD//AE；----------------------------4分

(Ⅱ)因为ACBC,且DEAC，所以BC//DE。

所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD--------6分

由，设AC=3x，AB=5x,则OM=

又OD=,所以MD=-=x

所以AE=AC+CE=4x

因为OD//AE，所以=。--------------10分

23．解：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y²=2ax (a>0)

将直线l的参数方程

代入曲线C的直角坐标方程得： --------3分 　 　

因为交于两点，所以，即a>0或a<-4.----------------------- -----5分

(Ⅱ)设交点M,N对应的参数分别为.

则---------------------------7分

若成等比数列,则----------------8分

解得a=1或a=-4(舍)

所以满足条件的a=1. …………………… （10分）

24．解：（Ⅰ）由题设知：，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或，或

解得函数的定义域为；…………（5分）

（Ⅱ）不等式即，