内蒙古呼伦贝尔市2015届高三第二次模拟考试数学（理）试卷

2015年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)

数 学 (理工类)

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡内的相关空格上．

3.第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

4.第Ⅱ卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知，则（ ）

1. B.C.D.

2．已知复数，则的虚部为（ ）

1. B.3 C.D.
   3．已知倾斜角为的直线l与直线x－2y+2=0平行，则tan 2的值为（ ）
   A．B．C．D．
   4．“a=1”是“（1+ax）⁶的展开式的各项系数之和为64”的（　　）

   	A．	必要不充分条件	B．	充分不必要条件
   	C．	充要条件	D．	既不充分也不必要条件

   5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
   A．B．C．D．
   
   6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
   A．12 B． 24 C．40 D．72
   7．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）
   A.B.C.D.
   8．已知矩形,分别是、的中点，且，现沿将平面折起，使平面⊥平面，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
   1. B.C.D.

9．已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D上的点，则实数的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

10.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）

A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称D．关于对称

11. 已知双曲线c：，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N （异于原点O），若|MN|=，则双曲线C的离心率 是（ 　）

A．

B．

C．

2

D．

12.已知函数f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x₀∈B，x₀∉A则实数b的取值范围是（　　）

A．

0≤b≤4

B．

b≤0或 b≥4

C．

0≤b＜4

D．

b＜0或b≥4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上）

13．若随机变量（1，4），，则_____.

14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为_____.

15．已知向量，，若，则的最小值为_____

16.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且，则b=_____.

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列，满足成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设b_n＝＋＋…＋，证明：≤b_n＜1．

18.(本小题满分12分)

如图，已知正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，

点在侧棱上，且

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19．(本小题满分12分)

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；

（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下列联表：

	接受挑战	不接受挑战	合计
男性	45	15	60
女性	25	15	40
合计	70	30	100

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？

附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

20．（本小题满分12分）

如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于x轴垂直的直线

与椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B，

且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数,,且点处取得极值．

（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于

点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．

（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；

（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²﹣2x．

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2015年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)答案

数 学 (理工类)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
选项	C	B	D	B	D	C	A	B	D	A	C	D

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 14.12 15.16.4

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列，满足成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设b_n＝＋＋…＋，证明：≤b_n＜1．

解：（Ⅰ），. ----------2分

成等比数列，,

，解得----------4分

；

所以数列的通项公式为：----------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

b_n＝＋＋…＋，b_n＋1＝＋＋…＋，

因为b_n＋1－b_n＝＋－＝－＞0，

所以数列{b_n}单调递增．b_n≥b₁＝．----------9分

又b_n＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝＜1，

因此≤b_n＜1．----------……12分

18.(本小题满分12分)

如图，已知正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，

点在侧棱上，且

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

解：（I）方法(一)如图，连结NF、，由直棱柱的性质知，

底面ABC侧面,所以侧面所以NF，

在中，=1，得NF//，

又故,平面NEF 所以 ----------5分

方法(二):

以点A为原点,AC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则由已知可得

于是则

故----------5分

（II）设平面AEF的一个法向量为，

则由（I）得

于是由,可得

即取

又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为，

=----------12分

19．(本小题满分12分)

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.

（Ⅰ）若某人接受挑战后，对其他3个人发出邀请，记这3个人中接受挑战的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；

（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某机构进行了随机抽样调查，得到如下列联表：

	接受挑战	不接受挑战	合计
男性	45	15	60
女性	25	15	40
合计	70	30	100

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？

附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

解：（Ⅰ）随即变量的所有可能值为0,1,2,3

∴随即变量的分布列是

	0	1	2	3
P

+1+2+3= ---------- 6分

（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， 根据列联表，得到的观测值为：

． 10分

（说明：表示成不扣分）．

因为，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ------------12分

20．（本题满分12分）

如图，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过且于x轴垂直的直线与

椭圆交于S,T，与抛物线交于C，D两点，且

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B，

且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

解：（Ⅰ）设椭圆标准方程由题意，抛物线的焦点为,.

因为,所以----------2分

又，，, 又

所以椭圆的标准方程. ----------4分

（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为

由削去y，得设，则是方程的两根，所以

即，①

且，由，得

若t=0，则P点与原点重合,与题意不符，故t≠0

----------9分

因为点在椭圆上，所以

再由①得

又t≠0,

----------12分

21.（本题满分12分）

已知函数,,且点处取得极值．

（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：．

解：（Ⅰ）∵， ∴

∵函数在点处取得极值，

∴，即当时，

∴，则得.经检验符合题意 -------- 2分

∵,∴, ∴.

令, 则.

∴当时，随的变化情况表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	极大值	↘

计算得：，，，

所以的取值范围为。 -------- 6分

（Ⅱ）证明：令，

则，

令，则，

函数在递增，在上的零点最多一个

又，，存在唯一的使得， -------- 9分

且当时，；当时，.

即当时，；当时，.

在递减，在递增，从而.

由得即，两边取对数得：，，

，从而证得. ------------12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

22．解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE.

∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE.∴∠ADE=∠AED --------5分

（Ⅱ）由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴APC∽BPA,=,

∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180º,

∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90º,∴∠C+∠APC+∠BAP=90º,

∴∠C=∠APC=∠BAP=30º,在RtABC中, =,∴= -----------10分

23.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

23.解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:直线的直角坐标方程为:圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ：

• 或----------5分

（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为

为曲线上任意一点，

的取值范围是-----------10分

24.（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲

24.已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．

（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；

（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²﹣2x．

24. （Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|=， 又当﹣1＜x＜2时，﹣3＜﹣2x+1＜3，∴﹣3≤f（x）≤3 ∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥fmax（x），即a≥3 ∴a的取值范围是：[3，+∞） --------5分 （Ⅱ）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1； 当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1； 当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解； 综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．--------10分