内蒙古呼和浩特市2018届高三第二次模拟考试数学理

2018年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

2.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

3.已知等比数列满足，，则数列前项的和（ ）

A．B．C．D．

4.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则（ ）

A．，，则

B．，，则

C.，，，，则

D．，，，，，则

5.有人参加某次考试，其成绩近似服从正态分布..则此次考试中成绩不低于分的人数约为（ ）

A．B．C.D．

6.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼-15”飞机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（ ）

A．B．C.D．

7.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于.若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是（ ）

A．B．C.D．

8.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体最长的棱的长度等于（ ）

A．B．C.D．

9.设，则函数（ ）

A．有极值 B．有零点 C. 是奇函数 D．是增函数

10.定义表示不超过的最大整数，例如，，，下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》，执行该程序框图，则输出的（ ）

A．B．C.D．

11.为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为，，三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理，，三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站只能建在村的西偏北方向，要求与村相距，且与村相距,已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距（ ）

A．B．C.D．

12.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（ ）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量，，则．

14.已知实数，满足条件，则的最大值为 ．

15.将正方形分割成个全等的小正方形（图1，图2分别给出了的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点，，，处的四个数互不相同且和为，记所有顶点上的数之和为，则．

16.已知，且对恒成立，则的最大值是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在中，点是边上一点，且

（Ⅰ）若，，求的长；

（Ⅱ）求证.

18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商对这个芒果提出如下两种收购方案：

A：所有芒果以元/千克收购；

B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.

通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

19.如图所示，在四棱锥中，，，底面，，，与垂直的平面分别交，，于，，三点

（Ⅰ）求证：点是的中点；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

20.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值.

21.已知函数，直线，其中为自然对数的底.

（Ⅰ）当，时，求证：曲线在直线的上方；

（Ⅱ）若函数的图象与直线有两个不同的交点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的两个交点的横坐标，及对应的值，当时，

求证：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）求圆的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知，是曲线与轴的两个交点，点为圆上的任意一点.

证明：为定值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若，，，证明：.

一、选择题

1-5: BAADC 6-10:BBCDC 11、12：CD

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.（Ⅰ）由题意，；

于是.

根据余弦定理可知：

所以，.

（Ⅱ）在和中分别使用正弦定理可得下列方程组

由得

于是，结合，将上面的两个方程相比可得：

18.（Ⅰ）由分层抽样的定义可知，从质量在中抽取的芒果数为.

则的取值为，且，于是分在列为

	0	1	2	3

数学期望.

（Ⅱ）由题目数据可知，这个芒果的总质量的平均值为

故，利用方案的获利为元.

对于方案，由频率分布直方图可得，质量低于的芒果出现的频率为，所以在个芒果中，有个质量低于的芒果，故利用方案的获利为元.

综上，利用方案获利更大.

19.（Ⅰ）由题，面，所以.

又面，

所以面，

所以，在等腰直角三角形中，为的中点.

（Ⅱ）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，从而

，，，，，.

设，

所以，由可得，

所以，，，

设面的法向量为由可得

，令，可得.

设直线与平面所成的角为，所以，.

20.解：（1）设，，则，所以，，.

由化简得，，因为，代入得，即为的轨迹为椭圆方程.

由（1）知，点为椭圆的左偏点，将直线被代入椭圆方程消去得，，设，，则有，.

则，所以线段的中点坐标为

所以线段的垂直平分线所在直线方程为

令得，即

所以

所以

21.解：（1）令

则

所以时，为增函数，

所以时，

所以在时，单调递增，

所以时，，即

（2）令，则

当时，，在上单调递减，不可能有两个零点，故不合题意

当时，在单调递减，在上单调递增

因为有两个零点，所以

所以

此时，所以在上有且只有一个零点

又当时，所以在上有且只有一个零点

所以得出：

（3）由已知，.所以.

只需证明.

即证.

方法一：由（2）知，.则

式等价于，即.

因为

所以成立

方法二：令，则.

当时，可得，所以函数在上为减函数

从而当时

所以成立

方法三：由题意，（3）中等式等价于证明：

事实上，由（2）知：，所以上式成立.

22.解：（1）圆的参数方程为（为参数）

若等价化为，再由互化公式，得其直角坐标方程为

（2）由（1）知，，设，则.

23.（Ⅰ）不等式即为

当时，解得

当，解得

当时，解得

综上，；

（Ⅱ）等价于证明

因为，所以，，

若，命题成立；

下面不妨设，则原命题等价于证明

事实上，由

可得

综上，