北京市朝阳区2018届高三3月综合练习（一模）数学文

2018年北京市朝阳区高三一模数学（文）考试

第I卷（选择题爱共40分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 已知全集为实数集,集合,
   则
   （A）（B）
   （C）（D）
   【答案】
   【解析】本题考查集合的运算.
   集合,
   集合.
   所以或,所以,故选.
2. 在复平面内,复数所对应的点位于
   （A）第一象限（B）第二象限
   （C）第三象限（D）第四象限
   【答案】
   【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.
   ,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.
3. 已知平面向量,且,则实数的值是
   （A）（B）（C）（D）或
   【答案】
   【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.
   由,且,可以得到,
   即,所以或,故选.
4. 已知直线平面,则“直线”是“”的
   （A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件
   （C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
   【答案】
   【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.
   （充分性）当且时,我们可以得到或（因为直线与平面的位置关系不确定）,所以充分性不成立;
   （必要性）当时,过直线可做平面与平面交于直线,则有.又有,则有,即.所以必要性成立,故选.
5. 已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为
   （A）（B）（C）（D）
   【答案】
   【解析】本题考查抛物线的定义.
   如图,抛物线的焦点为,准线为,即.
   分别过作准线的垂线,垂足为,
   则有.
   过的中点作准线的垂线,垂足为,
   则为直角梯形中位线,
   则,即到准线的距离为.故选.
6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于
   （A）
   （B）
   （C）
   （D）
   【答案】
   【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算
   抠点法:在长方体中抠点,
   1.由正视图可知:上没有点;
   2.由侧视图可知:上没有点;
   3.由俯视图可知:上没有点;
   4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.
   由上述可还原出四棱锥,如右图所示,
   ,.
   故选.
7. 函数的零点个数为
   （A）（B）（C）（D）
   【答案】
   【解析】本题考查函数零点.
   定义域为,
   通分得:,
   设,,
   时,,
   画出大致图象如下.
   易发现,即与交于点,
   又,,
   即点为公切点,
   点为内唯一交点,
   又均为偶函数,
   点也为公切点,
   为交点,有两个零点.
   故选
8. 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:

小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;

小王说:“丁团队获得一等奖”;

小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;

小赵说:“甲团队获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

【答案】

【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.

1. 若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2. 若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3. 若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4. 若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.

故选.

第Ⅱ卷（非选择题爱共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为

【答案】

【解析】本题考查程序框图.

初始	5	0
第一次	9	1
第二次	17	2
第三次	33	3
第四次	65	4

第四次时,,所以.

10.双曲线的焦距为渐近线方程为.

【答案】

【解析】本题考查双曲线的基本量.

由题知故,焦距:,渐近线:.

11.已知圆内有一点经过点的直线与圆交于两点,当弦恰被点平分时,直线的方程为

【答案】

【解析】本题考查直线与圆的位置关系.

圆,

弦被平分,故,

由得即,所以直线方程为.

12.已知实数满足若取得最小值的最优解有无数多个,则的值为

【答案】

【解析】本题考查线性规划.

,,取得最小值,则直线的截距最小,最优解有无数个,即与边界重合,故.

13.函数的部分图象如图所示,则

【答案】

【解析】本题考查三角函数的图象与性质.

由图可知,解得.

14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有块砖板拼在一起,则的所有可能取值为

【答案】

【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质.

由题意知只需这块砖板的角度之和为即可.

显然,因为任意正多边形内角小于;

且,因为角度最小的正多边形为正三角形,.

当时,个正六边形满足题意;

当时,个正方形满足题意;

当时,个正三角形与个正方形满足题意;

当时,个正三角形满足题意.

综上,所以可能为3,4,5,6.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知数列的前项和满足.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）若数列满足,求数列的通项公式.

【解析】（Ⅰ）由题知得,

得

得,

（Ⅱ）当时,

所以,

得,即,

是以为首项,2为公比的等比数列,则.

当时,

,

,

经验证:,

综上:.

16.（本小题满分13分）

在中,已知,.

（Ⅰ）若,求的面积;

（Ⅱ）若为锐角,求的值.

解:（Ⅰ）由正弦定理得,因为,

所以,,

因为,所以,

所以,

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

因为为锐角,所以.

17.（本小题满分13分）

某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？

（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）

（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.

【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为

因为在选考方案确定的学生的人中,

选生物的频率为

所以选择生物的概率约为

所以选择生物的人数约为人.

（Ⅱ）2人.

（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为

选择物理、化学、历史的学生为,

选择物理、化学、地理的学生分别为

所以任取2名男生的基本事件有

所以两名男生所目相同的基本事件共有四个,

分别为概率为

18.（本小题满分14分）

如图,在梯形中,于,.将沿折起至,使得平面平面

（如图2）,为线段上一点.

（Ⅰ）求证:;

（Ⅱ）若为线段中点,求多面体与多面体的体积之比;

（Ⅲ）是否存在一点,使得平面?若存在,求的长.若不存在,请说明理由.

【解析】（Ⅰ）在梯形中,因为,所以,

平面平面,平面平面,

平面,

平面,

平面,

.

（Ⅱ）为中点,

到底面的距离为,

在梯形中,,

,

.

,

在中,,

平面,平面,

平面平面,

平面平面,

,

到平面的距离为.

,.

.

（Ⅲ）连结交于,连结,

在四边形中,

,

,

,

平面,平面平面,

,

在中,,

,

,

在中,,

.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为,且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数,直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值.

【解析】（Ⅰ）由题可得,解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题知直线斜率存在,

设.

联立,

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得,

因为与斜率相反且过原点,

设,,

联立,

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得,

则

所以为定值.

20.（本小题满分13分）

已知函数.

（Ⅰ）若,求曲线在点处的切线方程;

（Ⅱ）若,求函数的单调区间;

（Ⅲ）若,求证:.

解:（Ⅰ）若,则,,

所以在点处的切线方程为.

（Ⅱ）

令,则.

令,得(依题意)

由,得;由,得.

所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增

所以,

因为,所以.

所以,即.

所以函数的单调递增区间为.

（Ⅲ）由,等价于,

等价于.

设,只须证成立.

因为

由,得有异号两根.

令其正根为,则.

在上,在上

则的最小值为

又

所以

则

因此即所以.

所以.