宁夏银川九中2016届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷

银川九中2016届高三第一次模拟考试

数学试卷（理科）（本试卷满分150分）

1. 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
   1．已知集合，则
   1. (B)(C)(D)

2．复数的实部与虚部的和为

1. (B)(C)(D)

3．在等差数列中，已知则此数列的公差为

1. (B)3 (C) (D)

4. 如果双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，那么该双曲线的方程是

1. (B)(C)(D)

5．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数，则不等式成立的概率是

1. (B)(C)(D)
   6．设是两个非零向量,则“”是“”的
   1. 充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

7．已知奇函数的图象关于直线对称，且，

则的值为

1. (B)(C)(D)

8．函数的最大值和最小正周期分别为

(A)(B)(C)(D)

9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度

折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当时，

最后输出的S为

(A)(B)(C)(D)

10．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为

1. 54 (B)162 (C)(D)

11．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）

（A）120（B）240（C）360（D）480

12．已知函数，，若方程在有三个实根，则实数的取值范围为（ ）

（A）（B）

（C）（D）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为 ．

14.在的展开式中，项的系数是 ．

15．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个面A₁B₁C₁D₁在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 ．

16．设是数列的前项和，且，，则数列的通项公式．

1. 解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

设数列的前项和，数列满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为

图3

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，

若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；

（Ⅲ）设表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的

时间，且已知，求事件“”的概率.

19．（本小题满分12分）

如图3，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的

等边三角形，D为AB中点．

（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；

(II) 若四边形BCC₁B₁是正方形，且求直线A₁D与

平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于．

（I）求椭圆C的方程；

（II）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（I）求、的值；

（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。做答时请用2B铅笔在答卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图4，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP

交CB的延长线于P，已知．

（I）若BC是⊙O的直径，求的大小；

(II）若，求证：．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．

（I）写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；

（II）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数.

（I）解不等式；

（II）若,求证：

银川九中2016届高三第二学期第一次月考

数学试卷（理科）（本试卷满分150分）

1. 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
   1—4 D D A B 5—8 A C C B 9—12 C D C D
2. 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.9； 14. 20； 15.； 16.

三、解答题：

17、【解】

（Ⅰ）当时，………………………………………（2分）

由，得，

∴

∴………………………（6分）

（Ⅱ）当时，，∴………………………………（7分）

当时，

……………………………（8分）

+…+…

+…+…

……………………………………………………（11分）

上式对于也成立，所以． ………………（12分）

18.解：

（1）由得；-------------------2分

（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为，-------------3分

不少于1小时的频数为1200，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；--5分

（Ⅲ）由直方图知，成绩在的人数为人，设为；--6分

成绩在的人数为人，设为.-------------------7分

若时，有三种情况；

若时，只有一种情况；----------------------------------8分

若分别在内时，则有共有6种情况.所以基本事件总数为10种，---------------------------------------------------10分

事件“”所包含的基本事件个数有6种.

∴P（）=-------------------------------------------12分

19.解

（I)证法1：连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，

则E为AC₁中点，-------------------------------2分

∵D为AB的中点，∴DE∥BC₁，------------------4分

∵BC₁平面A₁CD，DE平面A₁CD，-------------5分

∴BC₁∥平面A₁CD. ------------------------------6分

【证法2：取中点，连结和，------1分

∵平行且等于∴四边形为平行四边形

∴---------------------------------------------------2分

∵平面，平面

∴平面,------------------------------3分

同理可得平面------------------------4分

∵∴平面平面

又∵平面

∴BC₁∥平面A₁CD.--------------------------6分】

(II)--------------------------7分

又，

又面----------------------------------8分

法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.----------------9分

则，.

∴--------------------10分

平面的一个法向量

所以直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值为-----------------------12分

【法二：取的中点，连结，则-----------------------7分

∵面，故,

,面------9分

延长、相交于点，连结，

则为直线与平面所成的角. --------------------------10分

因为为的中点，故，又

即直线与平面所成的角的正弦值为.---------------------12分】

【法三：取的中点，连结，则-----------------------7分

∵面，故,

,平面-------------------------------9分

取中点M，连结BM，过点M作，则平面，

连结BN，∵,

∴为直线与平面所成的角，---10分

∵,

即直线与平面所成的角的正弦值为.---------------------12分】

20.解：

（I）设椭圆C的方程为，

由题意知----------------------------------------2分

解得，--------------------------------------------------4分

∴椭圆C的方程为---------------------------------------5分

（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，

易知F点的坐标为（2，0）. ----------------------------------------------6分

显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，------7分

将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

----------------------------------------9分

--------------------------------10分

又

-------12分

【证法二：设点A、B、M的坐标分别为

易知F点的坐标为（2，0）. ---------------------------------------------6分

∴------------7分

将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得

---------------------------------------------9分

同理，由可得------------------------10分

即 是方程 的两个根，-------------12分】

21．解：

（I）∵且直线的斜率为0，又过点，

∴------------------------------------------------------2分

即解得---------------------------------------3分

（II）当时，不等式

----------5分

令，-----------7分

令，

①当即时，在单调递增且，所以当时，，在单调递增，即恒成立．----------9分

②当即时，在上上单调递减，且，故当时，即

所以函数在单调递减，-----------------------------------10分

当时，与题设矛盾,

综上可得的取值范围为----------------------------------------12分

22.解：

（I）EP与⊙O相切于点A，，----------------------1分

又BC是⊙O的直径，------------------------------------3分

四边形ABCD内接一于⊙O，

--------------------------------------------------------5分

（II）

------------------------------------------------------7分

-----------------------------------------------------------8分

又-------------------------------------------10分

23.解：

（I）直线的普通方程为，---------------------------2分

曲线C的直角坐标系方程为-----------------------------------4分

（II）⊙C的圆心（0，0）到直线的距离

---------------------------------------------------6分

∴----------------------------------------------8分

∵

故．------------------------------------10分

24.解：

（I）由题意，得，

因此只须解不等式-------------------------------------1分

当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即；-----------------------------2分

当时，原不式等价于1≤2，即；---------------------------3分

当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即.-----------------------------4分

综上,原不等式的解集为. ----------------------------------5 分

（II）由题意得----------------------------6分

=-------------------------------------8分

------------------------------------------------------9分

所以成立．----------------------------------------10分