宁夏银川市第二中学2018届高三4月仿真模拟（六）数学（文）

2018年普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷（六）

（银川二中）

数学（文科）

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1．若集合A＝{x|-2≤x≤2}，B＝{x|x²-2x-3＞0}，则A∪B＝

A．(-∞，-1)∪(3，+∞) B．(-1，2]

C．[-2，-1) D．(-∞，2]∪(3，+∞)

2．若复数(a-i)(1-i)（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝e^lnx定义域和值域相同的是

A．y＝xB．y＝lnxC．D．y＝10^x

4．若，，则sin 2α＝

A．B．C．D．

5．已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α，β内，且m⊥n，则

A．若m⊥β，则n∥βB．若n∥β，则m⊥β

C．若m⊥β，则n⊥αD．若n⊥α，则m⊥β

6．直线被圆x²+y²-2x-4y＝0截得的弦长为

A．1 B．2 C．D．4

7．在区间[-3，3]内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x²+ax-a²＞0}的概率为

A．B．C．D．

8．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是

A．15 B．29 C．31 D．63

9．已知点A，F分别为双曲线的右顶点，右焦点，B₁(0，b)，B₂(0，-b)，若B₁F⊥B₂A，则该双曲线的离心率为

A．B．C．D．

10．函数的部分图象如图所示，则

A． B．-1 C．1 D．

11．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为边BC上的高，O为AD的中点，，则λ+μ＝

A．B．C．D．1

12．已知函数若关于x方程f(x)-f(-x)＝0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是

A．(0，1) B．(0，e) C．(0，2e) D．

二、填空题：

13．若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx-y的最大值为12，最小值为0，则正实数k＝________．

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a+c＝2，则△ABC周长的取值范围是________．

15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．

16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅＝45，S₆＝60．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n＝a_n，b₁＝3，求数列的前n项和T_n．

18．如图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求点A到平面BCE的距离．

19．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表：

（1）根据表中数据，是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

注：

．

20．如图，直线l:y＝kx+1(k＞0)关于直线y＝x+1对称的直线为l₁，直线l，l₁与椭圆分别交于点A，M和A，N，记直线l₁的斜率为k₁．

（1）求k·k₁的值；

（2）当k变化时，直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

21．函数，．

（1）讨论函数f(x)极值点的个数；

（2）若对任意x∈(0，+∞)有f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为．

（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l的参数方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x+1-2a|+|x-a²|，．

（1）求不等式f(2a²-1)＞4|a-1|的解集；

（2）若存在实数x，y使f(x)+g(y)≤0成立，求实数a的取值范围．

2018年普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷

数学文科（六）参考答案

13．3 14．[3，4) 15．乙 16．18π

17．解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

解得

∴a_n＝2n+3．

（2）据（1）求解知a_n＝2n+3．∴b_n+1-b_n＝a_n＝2n+3．

又b₁＝3，

∴b_n＝(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2) +…+(b₂-b₁)+b₁

＝[2(n-1)+3]+[2(n-2)+3]+…+(2×1+3)+3

．

∴．

∴

．

18．证明：（1）取CE中点G，分别连接FG，BG．

又∵F为CD的中点，

∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，

∴GF∥AB．

又，∴GF＝AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，

∴AF∥BG．

又∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

解：（2）连接AE，设点A到平面BCE的距离为h．

在△BCE中，据题设条件求知，，，

∴．

又（CH为正△ACD的高），，

由V_{三棱锥A-BCE}＝V_{三棱锥C-ABE}，得，

解得．

即点A到平面BCE的距离为．

19．解：（1）∵，

所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

（2）设a_i(i＝1，2)表示喜欢甜品的学生，b_j(j＝1，2，3)表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的．

从5名数学系学生中任取3人的基本事件共10个为

(a₁，a₂，b₁)，(a₁，a₂，b₂)，(a₁，a₂，b₃)，(a₁，b₁，b₂)，(a₁，b₁，b₃)，(a₁，b₂，b₂)，(a₂，b₁，b₂)，(a₂，b₁，b₃)，(a₂，b₂，b₃)，(b₁，b₂，b₃)；

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A由7个基本事件组成为

(a₁，b₁，b₂)，(a₁，b₁，b₃)，(a₁，b₂，b₃)，(a₂，b₁，b₂)，(a₂，b₁，b₃)，(a₂，b₂，b₃)，(b₁，b₂，b₃)．

所以从数学系5名学生中随机抽取3人至多有1人喜欢甜品的概率．

20．解：（1）设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x+1的对称点为P₀(x₀，y₀)．

直线l与直线l₁的交点为(0，1)．

∵l:y＝kx+1，l₁:y＝k₁x+1，

∴，．

据题意，得，∴y+y₀＝x+x₀+2． ①

由，得y-y₀＝x₀-x． ②

由①②，得

∴．

（2）设点M(x，y₁)，N(x₂，y₂)．

由得(4k²+1)x²+8kx＝0．

∴，∴．

同理有，．

又∵k·k₁＝1，

∴．

∴MN:y-y₁＝k_MN(x-x₁)．

∴．

即．

∴当k变化时，直线MN恒过定点．

21．解：（1）∵，∴．

∵x＞0，∴f′(x)∈[a+2，+∞)．

讨论：①当a+2≥0，即a∈[-2，+∞)时，f′(x)≥0对x∈(0，+∞)恒成立，此时f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)没有极值点；

②当a+2＜0，即a∈(-∞，-2)时，方程x²+ax+1＝0有两个不等正实数根x₁，x₂，

∴．

不妨设0＜x₁＜x₂，则当x∈(0，x₁)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(x₁，x₂)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(x₂，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴x₁，x₂分别为f(x)极大值点和极小值点，f(x)有两个极值点．

综上，当a∈[-2，+∞)时，f(x)没有极值点；当a∈(-∞，-2)时，f(x)有两个极值点．

（2）f(x)≤g(x)⇔e^x-lnx+x²≥ax．

又∵x＞0，

∴对x∈(0，+∞)恒成立．

设，则

．

∴当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．

φ(x)_min＝φ(1)＝e+1，

∴a≤e+1．

22．解：（1）由得x²+(y-3)²＝5，即x²+y²-6y+4＝0．

∴曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρsinθ+4＝0．

（2）直线（t为参数）的普通方程为xtanα-y＝0．

据题意，得，

∴．

∴直线l的斜率为．

23．解：（1）∵f(2a²-1)＞4|a-1|，

∴|2a²-2a|+|a²-1|＞4|a-1|，

∴|a-1|(2|a|+|a+1|-4)＞0，

∴|2a|+|a+1|＞4且a≠1．

讨论：

①若a≤-1，则-2a-a-1＞4，∴；

②若-1＜a＜0，则-2a+a+1≥4，∴a＜-3，此时a无解；

③若a≥0且a≠1，则2a+a+1＞4，∴a＞1．

综上，所求实数a的取值范围是．

（2）∵

∴g(x)≥-1，当且仅当或时等号成立．

∴g(x)_min＝-1．

又存在实数x，y使f(x)+g(y)≤0成立，

∴只需使f(x)_min≤1．

又f(x)＝|x+1-2a|+|x-a²|≥|(x+1-2a)-(x-a²)|，

∴(a-1)²≤1，∴0≤a≤2．即所求实数a的取值范围是[0，2]．