安徽省歙县中学2016届高三最后一次全真模拟考试数学（理）试卷

2016届高三高考模拟测试

数学（理）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则( )

....

2.设随机变量，若，则( )

....

3.已知复数(为虚数单位)，则( )

....

4.过双曲线的一个焦点作两渐近线的垂线，垂足分别为、，若，则双曲线的渐近线方程为( )

....

5.将半径为的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为，那么的值为( )

....

6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的是( )

.2.3.4.5

7.等差数列中，，若，则数列的前8项和为( )

....

8.已知，则( )

....

9.右图为三棱锥的三视图，其表面积为( )

1. B.

C.D.

10.已知椭圆的左焦点，为椭圆上一动点，椭圆内部点满足的最大值为，则椭圆的离心率为( )

....

11.已知，若函数恒有一个零点，则的取值范围为( )

..或.或.或

12.已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，则的取值范围( )

....

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）

13.若平面向量、满足，，则在上的投影为 .

14.若数列满足，，则数列前项和.

15.若直线把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 .

16.已知函数对任意的、，恒有，则的取值范围为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

在中，角的对边分别，，且.

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时角的值.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，侧棱，，，，，是棱中点．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)设点是线段上一动点，且，

当直线与平面所成的角最大时，求的值．

19．（本小题满分12分）

如图是两个独立的转盘(A)、(B)，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始)，记转盘(A)指针所对的区域为转盘(B)指针所对的区域为设的值为

(Ⅰ)求且的概率；

(Ⅱ)求随机变量的分布列与数学期望.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为．过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，其中为实数．当直线平行于轴时，对应的．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．

(Ⅰ)若函数在上是减函数，求实数的最小值；

(Ⅱ)若函数无零点，求的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，为⊙的直径，为弧的中点，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的面积．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

2016届高三高考模拟测试数学（理）参考答案

5.解析：，同理，所以，选D.

7.解析：得，所以，选B.

8.解析：，，选D.

9.解析: 选C.

10.解析：设右焦点为，则，所以，则，选A.

11.解析：数形结合，选B.

12.解析：(1)当，

(2)当，综上，选D.

13..解析：在上的投影为.

14..解析：.

15.2.解析：直线恒过，将区域分成面积相等的两部分，则直线过，所以，则最大值为2.

16..解析：由得，所以在单调递减，不妨设，则，即，令，则在单减，故恒成立，所以恒成立，得.

17．解（1）由，

可得，即，……………………………3分

又，所以，由正弦定理得，

因为，所以0，从而，即.………………………6分

（2）由余弦定理，得，

又，所以，于是，………………9分

当时，取到最大值.……………………………………………12分

18.解：（1）取PC的中点E，则连接，由四边形是平行四边形得 , 由平面得，平面，……………………5分

（2）因为点是线段上的一点，可设

又面PAB的法向量为，设与平面所成的角为

时， 即时，最大，

所以与平面所成的角最大时……………………………………………12分

19.解：(1)记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为

同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为

…………………………………………………………5分

(2)

中&华&资*源%库……………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）设，则，

两式相减，故…2分

当直线平行于轴时，设，因为，，则，解得，故点（或）的坐标为．

代入椭圆方程得………………………………………4分

，所以方程为……………………………………………6分

(Ⅱ)设

由于可得

……①

同理可得……② ……………………………………8分

由①②得：……③

将点的坐标代入椭圆方程得，

两式相减得，

于是……④

同理可得：，………10分

于是（，）

所以……⑤

由④⑤两式相加得到：

把③代入上式得，解得……………………………12分

21.解：(Ⅰ) 由于，所以，解得，………2分

故，则，显然函数的定义域为，

而，又函数在上是减函数，

在上恒成立 ……………………………………4分

∴当时，的最大值．

，即右边的最大值为，

所以，故实数的最小值……………………………………………………6分

(Ⅱ) 由题可得，且定义域为，

要函数无零点，即要在内无解，

亦即要 在内无解. 

构造函数，则…………………………………7分

（1）当时，在内恒成立，所以函数在 内单调递减，在内也单调递减．

又，所以当时，，即函数在内无零点，

同理，当时，，即函数在内无零点，

故满足条件；………………………………………………………………………9分

（2）当时， 

①若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；

又，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；

②若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以当时，恒成立，故无零点．所以满足条件；

③若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点.．

易知，又，

则，则在为增函数，所以．

故函数在内有一零点，不满足. 综上：或. ……12分

22.解（Ⅰ）连接，为弧的中点，

为的中点，……………………………………………………3分

为圆的直径，所以，…………………………………5分（Ⅱ）为弧BC的中点，，

又,则．

又，，

∽． ……………………8分

，,

……………………………………………………………………10分

23.解：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程是：，得．

∴由曲线的直角坐标方程是：……………………………………………3分

由直线的参数方程，得代入中消去得：

所以直线的普通方程为：………………………………………………5分

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，

设两点对应的参数分别为，

所…………………8分

因为原点到直线的距离，

所以的面积是………………………………10分

24.解：（Ⅰ）由于………………………………2分

等价于或或，解集为．……5分

（Ⅱ）函数的图象（如图）是由射线，线段，射线构成，其中，射线，的斜率分别为．图象如右 …………7分

要使恒成立，只需的图象恒在直线的上方，又由于直线是过且斜率为的直线，由于直线斜率为，射线的斜率为……………………………………………………9分

所以符合条件的实数的范围为………………10分