安徽省皖江区域示范高中2016届高三摸底联考数学（理）试卷

皖江区域示范高中2016届高三摸底联考

数学试题（理科）

（本卷满分150分，限时120分钟）

命题人：朱兴明（含山二中） 审核人：方保华 （含山二中）

第I卷（选择题，共50分）

1. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案写在答题卷的相应位置.）
   1、已知复数满足，则等于(　　)
   A、B、C、D、
   2、设R为实数集，集合，，则(　　)
   A、B、C、D、
   3、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）
   A、B、 C、 2 D、3
   4、给出下列结论：①命题“”的否定是“”；
   ②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位；
   ③数列满足“”是“数列为等比数列”的充分不必要条件;
   ④命题“若，则”的逆否命题为真命题．其中正确的是( )
   A、①②④B、①③ C、 ①④ D、①③④
   5、若执行如右图所示的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）.
   A、B、C、D、
   6、已知变量满足：，则的最大值为 （ ）
   A、B、 C、 3 D、9
   7、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ）
   1. B.C.D.

8、在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ( )

A、1 B、4 C、8D、16

1. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）

A、B.C.D.

10、奇函数对任意都有成立，且，则的值为 （ ）

A、-6 B、0 C、6 D、12

第II卷（非选择题，共100分）

1. 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）
   11、已知双曲线的一条渐近线的斜率为,则该双曲线的离心率为 .
   12、曲线在点处的切线方程为 .
   13、等差数列中，为前和,若，则．
   14、若，则=.
   15、对于函数有下列5个结论：
   ①其中;
   ②函数的单调递增区间为
   ③函数仅有一个零点；
   ④都有恒成立；
   ⑤对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为
   其中正确的结论的序号为 .
2. 解答题：（本大题共6题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

16、(本小题满分12分)

已知，设函数

（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求的面积．

17、(本小题满分12分)

某位同学进行2015年寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了2月8日至2月12日的白天平均气温（°C）与该小卖部的这种饮料销量（杯），得到如下数据：

日 期	2月8日	2月9日	2月10日	2月11日	2月12日
平均气温（°C）	9	12	10	11	8
销量（杯）	23	30	25	26	21

（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据不是相邻2天数据的概率；

（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报2月13日的白天平均气温6°C，请预测该奶茶店这种饮料的销量．

（参考公式：．）

18、(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若,求二面角的余弦值．

19、(本小题满分13分)

数列的前n项和为，且（）．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式；

（Ⅲ）令（），求数列的前n项和．

20、(本小题满分13分)

已知曲线上任意一点到两定点、的距离之和为4.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与圆:相切，并与曲线交于不同的两点．当，且满足时，求面积的取值范围．

21、(本小题满分13分)

已知函数，其中

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对任意n的个正整数

（1）求证：（2）求证：

---

皖江区域示范高中2016届高三摸底联考

数学（理科）参考答案及评分细则

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	C	A	C	B	D	C	A	B	A

二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共25分．

11．____ 12．______ 13．_0 14． __

15．①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16、解：（Ⅰ）由题意得……3分

则的最小值是－2， …………4分

最小正周期是； …………5分

（Ⅱ），则，， …………8分

，由正弦定理，得，① …………9分

由余弦定理，得，即， ②

由①②解得． …………11分

故…………12分

17、（Ⅰ）设“选取的2组数据不是相邻2天数据”为事件A，

所有基本事件（m，n）（其中m，n为2月份的日期数）有：（8,9），（8,10），（8,11），（8,12），（9,10），（9,11），（9,12），（10,11），（10,12），（11,12），共有10种．事件A包括的基本事件有（8,10），（8,11），（8,12），（9,11），（9,12）（10,12），共6种．所以为求． ………………………………………5分

（Ⅱ）由数据，求得，．

由公式，求得，，

所以y关于x的线性回归方程为． ……………………10分

（Ⅲ）当x=6时，．

所以该奶茶店这种饮料的销量大约为17杯． ………………………………………12分

18、（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．…………2分

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，…………5分

所以． ………… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，

所以．

设平面的一法向量为，

则因此

取，则，…………9分

因为，，，

所以平面，

故为平面的一法向量，且，…………10分

所以，…………11分

由于二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．…………12分

19、解：（Ⅰ）当时，，

当时，，知满足该式，

∴数列的通项公式为．3分

（Ⅱ）（） ①

∴②5分

②－①得：，，

故（）．7分

（Ⅲ），

∴9分

令， ①

则②

①②得：

∴，11分

∴数列的前n项和…………13分

20.解：（Ⅰ）∵|PA|＋|PB|=|AB|=，

∴曲线是以、为焦点，长轴长的椭圆，

即曲线的方程为:；…………………4分

（Ⅱ）依题结合图形知直线的斜率不为零，所以设直线的方程为()．

∵直线即与圆O:相切，∴得．(6分)

又∵点的坐标满足：，

消去整理得，

由韦达定理得，．…………………7分

又，点到直线的距离，

∴

………9分

∵

．

∵，令，则

…11分

∴，∴的取值范围为：.…………………13分

21．（I）由题意知………………1分

当时，，在上是增函数…………2分

当时，令得……………………3分

若则，从而在区间上是增函数

若则，从而在区间上是减函数

综上可知：当时，在区间上是增函数。当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数…………5分

（II）由（I）可知：当时，不恒成立…………6分

又当时，在点处取最大值，

且………………7分

即得

故若对恒成立，则的取值范围是……8分

（III）证明：（1）由（II）知：当时,对恒有成立

即………………10分

（2）由（1）知：；；……；

把以上个式子相乘得………………12分

故……………………13分