山东省菏泽市2018届高三下学期第一次模拟考试数学文

菏泽市2018届高三年级第一次模拟考试

数学（文科）

2018.3

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.

1.已知集合，，则=

1. B.C.D.

2.已知复数满足（是虚数单位），则=

1. B.C.D.

3.若在范围上随机取一个数a，则事件“”发生的概率为

A.0B.1C.D.

4.若，则下列不等式一定成立的是

1. B.C.D.

5.若椭圆经过点，随椭圆的离心率=

1. B.C.D.

6.已知在等差数列中，，，，若，且，则的值为

A.9B.11C.10D.12

7.执行如图所示的程序框图，输入，若要求输出不超过500的最大奇数，则内应该填

1. B.C.D.

8.对于四面体，有以下命题：①若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为，其中正确的命题是

A.①③B.③④C.①②③D.①③④

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是

1. B.C.D.

10.已知，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为

1. B.C.D.

11.已知F是双曲线C：的右焦点，P是轴正半轴上一点，以OP（O为坐标原点）为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M.若点P，M，F三点共线，且△MFO的△PMO的面积的3倍，则双曲线C的离心率为

1. B.C.D.2

12.已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是

1. B.

C.D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知角的终边经过点，则的值为_________.

14.已知在△ABC中，D为边BC上的点，且BD=3DC，点E为AD的中点，，则=_________.

15.若实数，满足，则的最小值是_________.

16.已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的，总有成立，则实数的取值范围为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个题目考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12 分）

在中，角，，的对边分别为，，，且，.

（1）求的值；

（2）若的周长为5，求的面积.

18.（本小题满分12分）

某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度（单位：cm）的情况如表1：

	900	700	300	100
	0.5	3.5	6.5	9.5

该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2：

频数（天）	3	6	12	6	3

（1）设，若与之间是线性关系，试根据表1的数据求出关于的线性回归方程；

（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：

日均收入（元）	-2000	-1000	2000	6000	8000

根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.

附参考公式：，其中，.

19.（本小题满分12分）

如图，在矩形中，AB=2AD，为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.

（1）当AB=2时，求三棱锥的体积；

（2）求证：BM⊥AD.

20.（本小题满分12分）

已知曲线：，曲线：，直线与曲线交于，两点，O为坐标原点.

（1）若，求证：直线恒过定点；

（2）若直线与曲线相切，求（点P坐标为）的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数在x=2处取得极值，求的极大值；

（2）若对成立，求实数a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；

（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，若对任意不等式成立，求实数m的取值范围.

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参考答案、提示及评分细则

1.B 因为，，所以

.故选B.

2.D 由，得，所以

.故选D.

3.C 根据几何概型概率计算公式，得事件“”发生的概率.

故选C.

4.A 因为，所以，所以由幂函数的性质得，由指数函数的性质得，因此，故选A.

5.D 由题意易得，即，所以椭圆的离心率.

故选D.

6.B 因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为，所以，解得，所以公差，所以

，解得或（舍）.故选B.

7.C 输入，则，，不符合；，则，，不符合；，则，，符合.又，所以输出m的值应为5，所以空白框内填输出，故选C.

8.D ①正确，若AB=AC=AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；

②不正确，如图，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；

③正确，如图，若AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则四面体的四个面均为直角三角形；

④正确，正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式

，解得，那么内切球的表面积. 故正确的命题是①③④.故选D.

11.D 由题意，得OM⊥PF，PM:PF=1:3，OF=c，OM=a，MF=b，，，

即，所以.故选D.

12.B ∵，当时，，无极值；当时，易得在处取得极大值，则有，即，于是，.当时，，在上不存在极小值.当时，易知在处取得极小值，依题意有

解得.故选B.

13.-39 ∵角的终边经过点，∴，，

，∴，，

∴，

∴.

14.如图：

.又，

所以，所以.又因为与不共线，所以，，所以.

15.不等式可表示为如图所示的平面区域.

为该区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然，当时，取得最小值.

16.令，得；令，可得；令，可得.故，即.由对任意恒成立，得对任意恒成立，又.所求实数的取值范围为.

17.解（1）∵，∴，

∴.

∵，∴，

∴.

∴，

又，

∴.

∴

又∵，

∴

（2）据（1）求解知，.

又∵，

∴.

又据（1）求解知，

∴的面积.

18.解：（1），，

，

.

∴，，

∴关于的线性回归方程为.

（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为（元）.

19.解：（1）取AM的中点N，连接DN.

∵在矩形中，为DC的中点，AB=2AD，

∴DM=AD.

又N为AM的中点，

∴DN⊥AM.

又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，

∴DN⊥平面ABCM.

∵AD=1，∴.

又，

∴.

证明：（2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.

又平面ABCM，

∴BM⊥DN.

在矩形中，AB=2AD，M为MC中点，

∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，

∴BM⊥AM.

又DN，平面ADM，，

∴BM⊥平面ADM.

又平面ADM，

∴BM⊥AD.

20.证明：（1）设：，.

由得.

∴，.

∴，.

又，

∴，解得.

∴直线方程为，

∴直线恒过点.

解：（2）设方程为，∵直线与曲线相切，

∴.

∴，整理得.①

又点P坐标为，∴由（1）及①，得

.

∴，即的取值范围是.

21.解：（1）∵，∴.

又∵函数在处取得极值，

∴，解得.

当时，.

令，则，∴，.

		1		2
	+	0	-	0	+
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

的极大值为.

（2）据题意，得对恒成立.

设，则.

讨论：

（i）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间为.

∴，且.

∴，解得；

（ii）当时，由得函数单调减区间；由得函数单调增区间为，，

又，，不合题意.

（iii）当时，，在上单调递增，

又，，不合题意.

（iv）当时，由得函数单调减区间为；由得函数单调增区间，，

又，，不合题意.

综上，所求实数a的取值范围是.

22.解：（1）的普通方程为.

∵曲线的极坐标方程为，

∴曲线的普通方程为，即.

（2）设为曲线上一点，

则点到曲线的圆心的距离

.

∵，∴当时，d有最大值.

又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，

∴的最大值为.

23.解：（1）因为，

所以即为，整理得.

讨论：

①当时，，即，解得.

又，所以.

②当时，，即，解得.

又，所以.

综上，所求不等式的解集为.

（2）据题意，得对任意恒成立，

所以恒成立.

又因为，所以.

所以，解得.

所以所求实数m的取值范围是.