山西省2016届高三下学期高考前质量检测数学（理）试卷A卷

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2016年高考前质量监测试题（卷）

理科数学试题参考答案

A卷选择题答案

一、选择题

（1）C（2）B（3）A（4）A（5）D（6）D

（7）B（8）C（9）D（10）C（11）C（12）B

B卷选择题答案

一、选择题

（1）B（2）C（3）A（4）A（5）D（6）D

（7）C（8）C（9）D（10）B（11）B（12）C

A、B卷非选择题参考答案

二、填空题

（13） 4-3i（14）（15） 11（16）m≥-1

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB．

又∵α=45°，∴CD=AC，∴CD=4；……………………………………5分

（Ⅱ）在△ABD中，α+β=53+30=83，AB=AC+CB=4+6=10，

∴∠ADB=180－83=97．

∴由，得AD===≈5．

在△ACD中，

CD²=AD²+AC²-2AD·ACcos=5²+4²-2×5×4×cos53°≈17．………12分

（18）(Ⅰ) 根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，

从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：

学员编号	补测项目	项数
（1）（2）	②③⑤	3
（1）（4）	②③④⑤	4
（1）（6）	③④⑤	3
（1）（9）	①③⑤	3
（2）（4）	②④⑤	3
（2）（6）	②③④⑤	4
（2）（9）	①②⑤	3
（4）（6）	②③④	3
（4）（9）	①②④⑤	4
（6）（9）	①③④⑤	4

由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，

由古典概型可知，所求概率为；……………………………………4分

（Ⅱ）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为

（ⅰ）由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为

故该学员通过“科二”考试的概率为………………………8分

（ⅱ）根据题意，X=150当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测，其他情况时均有X=450，

而P（X=150）=，故X的分布列为

X	150	450
P

故EX=（元）. ………………………12分

（19）(Ⅰ)证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=AC，NQ∥AC.

又MF=AC，MF∥AC，所以MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MN∥FQ.

平面FCB，平面FCB，

∴∥平面.…………………………………………………………5分

(Ⅱ)解：由∥，，可得，，，.因为四边形为矩形，所以平面，则为直线与平面所成的角，即=，∴.

，∴.则可建立如图所示的空间直角坐标系，

所以.

∴.

设为平面的法向量，

则，即.

取，则为平面的一个法向量.

又为平面的一个法向量，

.

则平面与平面所成角的余弦值为．………………………12分

（20）解：（Ⅰ）S_BAN＝S_BAC＝S_ABC＝××2b×a=,

∴ab=2①．又＝,②,解①②得a=2,c=b=,

∴椭圆E的方程为＝1．……………………………………………5分

（Ⅱ）直线AB：y=bx，直线CF:y=b+x,联立方程解得M．

设=（＞0），P(x,y)，则=(x,y+b),

∴x=，y=．

把上式代入椭圆方程得

＋＝1,即4c²+[2a(a+c)]²=²(a+c)²．

∴＝＝＝（e+1）+－2．

∵0<e<1,∴1<e+1<2,∴≥22，当且仅当e+1=,即e =1时，等号成立. 取到最小值22．

即的最小值为22．………………………………………………12分

（21） 解:（Ⅰ）假设直线l与函数图像的切点为（x₀，f(x₀)），∵，

则根据题意可得即∴

∴① 又②

由①②可得.………………………………………………………5分

（Ⅱ）因为点关于y轴的对称点在直线l上,所以.

两式相加得,

两式相减得.

由以上两式可得，

所以，

即，不妨设.

要证.即证.即证.

设..

,所以在单调递增,又g′(0)=0,

∴当时,恒成立,所以在上单调递增,g(0)=0.

所以,.

即. ……………………………………12分

选考题

（22）证明：（Ⅰ）∵A，C，D，B四点共圆，∴∠FBA=∠FCD．

又∵∠AFB=∠DFC，∴△FAB∽△FDC． ………………………………5分

（Ⅱ）如图，在中，

，(公共角)，

由三角形内角和定理，可知

又四边形ABDC为圆的内接四边形，故，

于是，故F，E，A，B四点共圆，且与

为该圆的两条割线.

由割线定理知.……………………10分

（23）解：（Ⅰ）C₁：sin=,C₂：²＝．……………………5分

（Ⅱ）M(,0),N(0,1),∴P,∴OP的极坐标方程为=,

把=代入sin=得₁=1,P．

把=代入²＝得₂=2,Q．

∴|PQ|=|₂₁|=1．即P，Q两点间的距离为1. ………………………10分

（24）解：（Ⅰ）当a=2时，原不等式为：|x+1|－|2x－2|<0，即|x+1|<|2x－2|，

化简得（3x－1）（x－3）>0,解得x＜，或x＞3．

故解集为………………………………………………5分

（Ⅱ）∵a＞0，∴＞0．

∴原函数可以化为：f(x)=

即f(x)=

∴f(x)_max=f=+1．所以+1≤3，∴a≤4．

综上可得a的取值范围为{a|0<a≤4}．…………………………………10分