广西防城港市2018届高中毕业班1月模拟考试数学（理）

广西防城港市高中毕业班1月模拟考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设为虚数单位，则复数的虚部为（ ）

A．B．C．D．

2.已知集合，，则（ ）

A．B．C．D．

3.已知实数满足，则的最大值为（ ）

A．3 B．1 C．2 D．4

4.若的展开式中常数项为14，则实数的值为（ ）

A．B．C.D．

5.设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）

A．B．C.D．

6.已知分别为的三个内角的对边，，则（ ）

A．B．C.D．

7.已知命题是的充分不必要条件；命题若数列的前项和，那么数列是等差数列.则下列命题是真命题的是（ ）

A．B．C.D．

8.执行如图所示的程序框图，若输出的值为14，则空白判断框中的条件可能为（ ）

A．B．C.D．

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C.D．

10.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则（ ）

A．B．C.D．

11.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是等腰三角形，.则的周长为（ ）

A．B．C.D．

12.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）

A．B．

C.D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线的焦点坐标为 ．

14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．

15.一块边长为的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器，为底面的中心，则侧棱与底面所成角的余弦值为 ．

16.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选择题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.

为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.

（1）求和频率分布直方图中的的值；

（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；

（3）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.

19.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点.点是与轴的交点，两点在抛物线上且直线过点，过点及的直线交抛物线于点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线过一定点，并求出该点坐标.

21.已知函数，为自然对数的底数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）当时，与相交于两点，求的最小值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）求的解集；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:CBCDD 6-10:CBBAB 11、12：CD

二、填空题

13.14.15.16.-1

三、解答题

17.（1）当时，，

所以.

当时，满足上式.

所以数列的通项公式为.

（2）.

，

又，

两式相减得，，

所以.

18.（1）由题意可知，样本容量，

，

∴.

（2）不及格的概率为0.1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件，∴，故至少有1人成绩是及格以上等级的概率为；

（3）原始成绩在80分以上的学生有人，优秀等级的学生有3人，

∴的取值可为0,1,2,3；

∴，，

，，

∴的分布列为

	0	1	2	3

.

19.（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，.所以.

又，所以，因此，，，

平面，，所以，，

所以平面；所以.

（2）由（1）知，，同理，

又平面，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，因此，.

设平面的一个法向量为，则，，∴，

所以，取，则，

由于是平面的一个法向量，

则，，

所以二面角的余弦值为.

20.（1）∵上一点到其焦点的距离为，∴，

∵以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点，∴，即为等腰三角形.

过作轴于，则，∴得，

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设的方程为，代入抛物线的方程，可得.

设，，，则，

由，

直线的方程为，∴，

可得，∴，

∴.①

直线的方程为.

可得，②

由①②可得，，∴直线过定点.

21.（1）的定义域为，.

若时，则，∴在上单调递增.

若时，则由，∴.

当时，，∴在上单调递增；

当时，，∴在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意得：对时恒成立，

∴对时恒成立.

令，∴.

令，∴对时恒成立，

∴在上单调递减；

∵，∴时，，

∴，在上单调递增；

当时，，∴，∴在上单调递减.

∴在处取得最大值.

∴的取值范围是.

22.（1）∵，∴.

∴.

∴，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可知圆心坐标为，半径为2，直线过点，∴，

∴时，的最小值为.

23.（1）由得，

即或或，

即有或或，解得，

所以的解集为.

（2），

当且仅当时，取等号.

由不等式对任意实数恒成立，

可得及，即，

即或或，解得或，

故实数的取值范围是.