河南省开封市2015届高三冲刺模拟考试（5月）数学（理）试卷

2015届开封市高三数学（理）冲刺模拟考试

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中为底面面积，为高 其中R为球的半径

第I卷

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
   1.若集合,则( )
   ABCD
   2．已知复数z满足, 则复数z对应的点在（ ）上
   A 直线 B 直线 C 直线 D 直线
   3．下列命题中为真命题的是（　　）
   　 A． 若x≠0，则x+≥2
   　 B． 命题：若x²=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x²≠1
   　 C． “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
   　 D． 若命题：∃x∈R，x²﹣x+1＜0，则￢：∀x∈R，x²﹣x+1＞0
   4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率是( )
   1. B.C.D.

5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.12 B.24 C.30 D.48

6．已知为正项等比数列，S_n是它的前n项和.若，且

a₄与a₇的等差中项为，则 的值 ( )

A．29B．31C．33D．35

7．已知某程序框图如图所示，则输出的i的值为 （ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

8．函数的图像与函数的图像（ ）

A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴

C既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴9. 从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有

A.180 B.220 C.240 D.260

10．已知函数f（x）=e^x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）．

A. B. （，+∞） C. D.

11.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )

A．B．C．D．

12.已知双曲线的两个焦点，点P是双曲线上一点，成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C D

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

1. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
   13. 设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是
   14. 若等边的边长为，平面内一点满足，则.
   15．设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 .
   16．设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=4，a₃=9，a_n=a_n-1+a_n-2-a_n-3 （n=4,5, ……）,则a₂₀₁₅=
   三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
   17．（本小题满分12分）
   在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知.
   1. 求角A的大小；
   2. 若b＝5，sinBsinC=,求△ABC的面积S

1. (本小题满分12分)
   某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：

   品牌	甲			乙
   首次出现故障时间x(年)	0<x≤1	1<x≤2	x>2	0<x≤2	x>2
   数量(件)	2	3	45	5	45
   每件利润(百元)	1	2	3	1.8	2.9

   
   将频率视为概率，解答下列问题：
   1. 从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；
   2. 若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X₁，生产一件乙品牌家电的利润为X₂，分别求X₁，X₂的分布列；
   3. 该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的的余弦值.

1. （本小题满分12分）

已知函数

1. 求函数分f(x)在（t>0）上的最小值；
2. 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
3. 证明：对一切都有成立

21.（本小题满分12分）

已知点是圆上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点．

（I）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线经过F₂，与抛物线y²=4x交于A₁，A₂两点，与交于B₁，B₂两点.当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是的直径，弦BD、CA的延长线

相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证： （I）；

（II）AB²=BE•BD-AE•AC.

23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。

（I）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（II）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线距离的最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数。

（I）画出函数y=f(x)的图像；

（II）若不等式，（a0,a、bR）恒成立，求实数x的范围.

参考答案

1. 选择题：1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D
   填空题：13. (1,3] 14. 15. (,2) 16. 8057
2. 解答题：

17. 【解】　(I)由，得

2cos²A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.----2分

解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．----4分

因为0<A<π，所以A＝.-----6分

(II)由又由正弦定理，得sinBsinC＝sinA·sinA＝·sin²A＝＝.—8分

由余弦定理，得a²＝b²＋c²－2bccosA,又b＝5，所以c＝4或----10分

S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5或----12分

18.【解】　(I)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝.----4分

(II)依题意得，X₁的分布列为

X₂的分布列为

--------------8分

(III)由(II)得E(X₁)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(百元)，

E(X₂)＝1.8×＋2.9×＝2.79(百元)．-----------12分

因为E(X₁)>E(X₂)，所以应生产甲品牌家电．

19.证明：（Ⅰ）取中点，连结．

，．

，．，

平面．----3分平面，

，又∵，∴-----6分

解：（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．设．---8分，，．----9分

取中点，连结．，，

，．

是二面角的平面角．

，，，---10分

．二面角的余弦值为．--12分

20. 解：(I)，---2分

当时不可能；

当

当

；----5分

(II)可化为

，当0

所以h(x)最小=h(1)=4，对一切x>0，------9分

(III)问题等价于证明，由（1）知的最小值是，当且仅当时取到等号，设m(x)=，易知m(x)最小等于m(1)，当且仅当x=1时取到，从而对一切都有成立----12分

21. 解：（I）由题意得，圆的半径为，且

从而 ………… 2分

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, ………… 4分

其中长轴,得到,焦距，

则短半轴

椭圆方程为: ………… 5分

（Ⅱ）当直线与x轴垂直时，B₁(1，),B₂(1，-),又F₁(-1,0),

此时，所以以B₁B₂为直径的圆不经过F₁.不满足条件.……………（6分）

当直线不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

由

因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点. 设B₁(x₁,y₁)，B₂（x₂,y₂）,则

因为以B₁B₂为直径的圆经过F₁，所以，又F₁(-1，0)

所以（-1-x₁）(-1-x₂)+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+(1-k²)(x₁+x₂)+1+k²=0

所以解得……………（8分）

由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0

因为直线与抛物线有两个交点，所以

设A₁(x₃,y₃)，A₂(x₄,y₄)，则

所以 . …………(12分)

22. 解：(I)连结AD

因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°

则A、D、E、F四点共圆---4分

∴∠DEA=∠DFA---5分

(II)由(I)知，BD•BE=BA•BF

又△ABC∽△AEF

∴---7分

即：AB•AF=AE•AC

∴ BE•BD-AE•AC

=BA•BF-AB•AF

=AB(BF-AF) =AB²

--------------10分

23. 解：（Ⅰ），

为圆心是，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.---4分

（Ⅱ）当时，，故，

为直线，-----7分

M到的距离从而当时，取得最小值----10分

24.解：(I)----2分

-----4分

(II)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

恒成立 只需

------7分

------10分