河南省开封市2016届高三上学期定位模拟考试数学（理）试卷

2016年数学定位试题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据的标准差 锥体体积公式

其中为样本平均数 其中为底面面积，为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中为底面面积，为高 其中R为球的半径

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则等于 A
   A．B．C．D．
2. 若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为 C
   A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，）
3. 下列命题正确的是 D
   A．已知;
   B．存在实数，使成立;
   C．命题：对任意的，则：对任意的;
   D．若或为假命题,则,均为假命题
4. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D
   A．B．C．D．
5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 C
   A.10 B.15 C.20 D.30
   
6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为 C
   A.3 B. -6 C. 10 D. 12
   8.中，点在上，平方．若，，，，则B
   ABCD
7. 已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，若棱AB上存在点P，使得，则AD的取值范围是（ ）C

A．     B．      C．       D．

9.若点（4，tanθ）在函数y=log₂x的图像上，则2cos²θ= A

1. B.C.D.

10. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为 D

A．B．（﹣2，1）C．D．

11．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a= C

A．﹣2B．C． 1D．2

12. 已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 D

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 在（1+x）⁶（1+y）⁴的展开式中，xy²项的系数是 .36

14. 已知函数，则f（2016）=0

15. 在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率是 .．

16. 在△ABC中， 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为，则△ABC的最大边长等于14.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知数列满足，，令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II）求数列的前项和.

解：(Ⅰ)，

，即，．………6分

（II），

----（1）

----（2）

（1）—（2）得：

1. (本小题满分12分)某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间(t)的情况如下：

每次随机播出，若将频率视为概率．

(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；

（II）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望.

解：(Ⅰ)由条件知

.

（II）

	0	1	2

1. （本小题满分12分）

在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，，，

（I）若中点为．求证：；

（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．

（I）证明：取的中点，连结，

，且，所以为平行四边形．

，且不在平面内，在平面内，

所以

（II）

直线与平面所成角的正弦值．

1. （本小题满分12分）

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C₁与椭圆C₂是相似的两个椭圆，

并且相交于上下两个顶点．椭圆C₁：的长轴长是4，椭圆C₂：

短轴长是1，点F₁， F₂分别是椭圆C₁的左焦点与右焦点，

（Ⅰ）求椭圆C₁，C₂的方程；

（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆C₂于点M，N，求△F₂MN面积的最大值．

解：（Ⅰ）设椭圆C₁的半焦距为c，椭圆C₂的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．

∵椭圆C₁与椭圆C₂的离心率相等，即，

∴，即

∴，即bm=b²=an=1，∴b=m=1，

∴椭圆C₁的方程是，椭圆C₂的方程是；…………5分

（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．

联立：，得，即，

∴△=192m²﹣44（1+4m²）=16m²﹣44＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则，，∴，

△F₂MN的高即为点F₂到直线的距离．

∴△F₂MN的面积，……10分

∵，

当且仅当，即时，等号成立

∴，即△F₂MN的面积的最大值为．…………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)若关于的不等式在上恒成立，其中为实数，求的取值范围.

解：（Ⅰ）求导，又， 所以曲线在

点处的切线方程为即…………4分

(Ⅱ) 设即在上恒成立，

又有恒成立 即处取得极小值，得…6分

所以, 从而

（ⅰ）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以即…………8分

（ⅱ）时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，

则只需 ， 解得…………10分

（ⅲ）当时，，在上单调递增，单调递减，在上单调递增，

由知不符合题意，

.综上，的取值范围是…………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，

EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．

（Ⅰ）证明：EF=EG；

（Ⅱ）求GH的长．

（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆

由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG

∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，

∴∠FGE=∠BAF

∴∠FGE=∠EFG，

∴EF=EG………………5分

（Ⅱ）解：∵OE²=OH²+HE²=OF²+EF²，

∴EF²=OH²+HE²﹣OF²=48，

∴EF=EG=4，

∴GH=EH﹣EG=8﹣4………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，

直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.

（Ⅰ）写出直线及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点M平行于直线的直线与曲线交于两点，若，求点M轨迹的直角坐标方程.

解：（Ⅰ）直线， 曲线……………………4分

（Ⅱ）设点及过点M的直线为

由直线与曲线相交可得：

，即：

表示一椭圆……………………8分

取代入得：

由得

故点M的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段椭圆弧……10分

24．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲已知函数.

(Ⅰ)解不等式：；

(Ⅱ)若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.

解：(Ⅰ)由得

得不等式的解为……………………5分

(Ⅱ)因为任意，都有，使得成立，

所以，

又，

，所以，解得或，

所以实数的取值范围为或.……………………10分