一次函数的定义和判别及例题解析

一、一次函数的定义和判别

1、一次函数

一般地，形如$y$=$kx$+$b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$）的函数，叫做一次函数。当$b$=0时，$y$=$kx$+$b$即$y$=$kx$，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2、一次函数的判别

要判断一个函数是否为一次函数，就要先将式子进行变形，看它能否化成$y$=$kx$+$b$的形式，即$x$的指数为1，$k$≠0，$b$为任意常数。若符合上述条件，且$b$≠0，则这个函数为一次函数；若符合上述条件，且$b$=0，则这个函数既是一次函数，又是正比例函数。

3、一次函数的图象及性质

一次函数$y$=$kx$+$b$（$k$≠0）的图象可以由直线$y$=$kx$平移|$b$|个单位长度得到（当$b$>0时，向上平移；当$b$<0时，向下平移）。一次函数$y$=$kx$+$b$（$k$≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线$y$=$kx$+$b$。

直线$y$=$kx$+$b$（$k$≠0）与$y$轴交于点（0，$b$），与$x$轴交于点$left( -frac{b}{k},0 right)$。其中$b$叫做直线$y$=$kx$+$b$在$y$轴上的截距。

4、一次函数的图象与性质的应用

（1）从函数图象的形状可以判断函数的类型。对于实际问题中的正比例函数和一次函数的图象，大多为线段或射线，因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定限制的，即自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

（2）一次函数$y$=$kx$+$b$（$k$≠0）的性质主要是指函数的增减性，即$y$随$x$的变化情况，它只与$k$的符号有关，与$b$的符号无关。

即$k$>0，$y$随$x$的增大而增大；

$k$<0，$y$随$x$的增大而减小。

反之，若$y$随$x$的增大而增大，则必有$k$>0；若$y$随$x$的增大而减小，则必有$k$<0。

5、待定系数法

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。

二、一次函数的定义的相关例题

下列函数：① $y$=2$x$，② $y$=$frac{x}{2}$，③ $y$=2$x$+1，④ $y$=$x^2$+1，其中一次函数的个数是___

A．4B．3 C．2 D．1

答案：B

解析：由一次函数的概念知①②既是正比例函数，也是一次函数，③是一次函数，④不是一次函数，故选B。