二次函数的图象和性质及例题解析

一、二次函数的图象和性质

1、二次函数

一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中，$x$是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：①二次函数中自变量的最高次数必须是2，也就是说在$y=ax^2+bx+c$中，$a≠0$，而$b$，$c$可以为0。②含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。

2、二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质

二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）

（1）当$a>0$时

图象开口向上；对称轴为$x=-frac{b}{2a}$；顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a}right)$；当$x<-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-frac{b}{2a}$时，$y$有最小值，此时$y_{最小值}=frac{4ac-b^2}{4a}$。

（2）当$a<0$时

图象开口向下；对称轴为$x=-frac{b}{2a}$；顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a}right)$；当$x<-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>-frac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-frac{b}{2a}$时，$y$有最大值，此时$y_{最大值}=frac{4ac-b^2}{4a}$。

因为抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$，当对称轴在$y$轴左侧时，$-frac{b}{2a}<0$，即$frac{b}{2a}>0$，所以$a$与$b$同号；反之，$a$与$b$异号，故可记为“左边同号，右边异号（$a$与$b$）”。

3、二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质

二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$

（1）开口

当$a>0$时，开口向上，并向上无限延伸。

当$a<0$时，开口向下，并向下无限延伸。

$|a|$越大，开口越小；$|a|$越小，开口越大。

（2）对称轴及顶点坐标

关于直线$x=h$对称；顶点坐标为$(h,k)$。

（3）增减性

当$a>0$时，$xh$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。

当$a<0$时，$xh$时，即在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小。

（4）最值

$a>0$时，二次函数有最小值，即当$x=h$时，$y{最小值}=k$，此时最低点为顶点$(h,k)$；$a<0$时，二次函数有最大值，即当$x=h$时，$y{最大值}=k$， 此时最高点为顶点$(h,k)$。

4、抛物线的平移

（1）抛物线$y=ax^2$与抛物线$y=ax^2+$$bx+c$形状相同，位置不同。把抛物线$y=ax^2$向左$left(frac{b}{2a}>0right)$或向右$left(frac{b}{2a}<0right)$平移$left|frac{b}{2a}right|$一个单位；再向上$left(frac{4ac-b^2}{4a}>0right)$或向下$left(frac{4ac-b^2}{4a}<0right)$平移$left|frac{4ac-b^2}{4a}right|$个单位可得到$y=ax^2+$$bx+c$的图象。

（2）一般地，抛物线$y=a(x-h)^2+k$与抛物线$y=ax^2$形状相同，位置不同，把抛物线$y=ax^2$向上$(k>0)$或向下$(k<0)$平移$|k|$个单位；再向左$(h<0)$或向右$(h>0)$平移$|h|$个单位可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象，简记为：“左加右减括号内，括号外上加下减”。

二、二次函数的图象的相关例题

把抛物线$y=-2x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为___

A．$y=-2(x+1)^2+2$

B．$y=-2(x+1)^2-2$

C．$y=-2(x-1)^2+2$

D．$y=-2(x-1)^2-2$

答案：C

解析：抛物线$y=-2x^2$向右平移1个单位长度后，所得函数的表达式为$y=-2(x-1)^2$，抛物线$y=-2(x-1)^2$向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为$y=-2(x-1)^2+2$。故选C。