因式分解的概念和方法及例题解析

一、因式分解的概念和方法

1、因式分解的概念及与整式乘法的关系

（1）因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

（2）因式分解与整式乘法的关系

因式分解与整式乘法都是整式变形，它们目标不同，过程相反，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

2、因式分解的方法

（1）提公因式法

① 公因式：多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

② 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法用字母表示为：$pa+$$pb+$$pc=$$p(a+$$b+$$c)$，$p$既可表示单项式也可表示多项式，$p$称为这个多项式的公因式。

（2）公式法

① 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

② 完全平方公式：$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$

即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

（3）形如$x^2+(p+q)x+pq$型式子的因式分解

$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$，利用该式可将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。如：$x^2-$$6x-$$7=$$(x-7)$$(x+1)$，$x^2+$$5x-$$6=(x+6)$$(x-1)$。

（4）因式分解方法的综合运用

对多项式进行因式分解常常是几种方法综合运用，灵活操作。首先，看各项有无公因式，若有公因式，则把它提取出来。其次，观察是否符合完全平方公式或平方差公式，若符合就用公式法分解因式。

二、因式分解的相关例题

下列由左边到右边的变形是因式分解的是___

A．$3x+3y-5=3(x+y)-5$

B．$(x+1)(x-1)=x^2-1$

C．$x^2-9=(x+3)(x-3)$

D．$x+y=xleft(1+frac{y}{x}right)(x≠0)$

答案：C

解析：从左到右变形是因式分解必须满足的特点：第一，左边是多项式，右边整体是乘积形式；第二，左右两边都是整式；第三，结果分解彻底。

A选项右边整体是减法，不是乘积形式，因此不是因式分解。B选项左边是乘积形式而不是多项式，因此不是因式分解。C选项符合因式分解的特点。D选项右边不是整式，因此不是因式分解。