贵州省遵义四中2018届高三上学期第一次月考文数试卷.doc

遵义四中2018届高三第一次月考试卷（文数）

命题人：缪华涛 审题人：高三数学备课组

注意事项：

1.本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分；考试时间120分钟。

2.考试开始前，用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，准考证号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码。

3.客观题答题时，请用2B铅笔答题；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则（ ）

1. B.C.D.

2．已知复数满足，则（ ）

1. B.C.D.

3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）

1. B.C.D.

4．函数的定义域是（ ）

1. B.C.D.

5．给出下列四个命题，其中假命题是（ ）

6．设函数（ ）

1. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7．函数的零点所在的区间（ ）

1. B.C.D.

8．设函数定义在实数集上，，且当x≥1时，，则有（）

1. B.

C.D.

9．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )

1. B.C.D.

10．函数的大致图像是（ ）

A B C D

11．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）

1. B.C.D.

12．已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）

1. B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）

1. 填空题（本题共四小题，每小题5分，共20分）

13．幂函数在上为增函数，则____________

14．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是__________．

15．设函数，则在点处的切线方程为__________．

16.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

_________．

三.解答题（本题共70分，作答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值；

18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组，，…，后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：

（1）补全频率分布直方图；

（2）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段内的概率.

19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面平面；

20．已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．

1. 求椭圆的方程；
2. 过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁＋k₂＝8，证明：直线AB过定点.

21．已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）若时，恒成立，求整数的最小值；

请考生在第（22）～（23）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

直角坐标系中，直线（为参数），曲线（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.

（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，求的长.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）求的值域；

（2）若的最大值为，已知均为正实数，且，求证：

选择题：BBDBC DCCCA BA

填空题：13.214.15. 16 .

17．（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间是；

（Ⅱ）最大值，最小值．

【解析】试题分析：（Ⅰ）将函数化简为，最小正周期，令，求出的范围，得到函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据的范围，求出，再求出最大值和最小值。

试题解析：（Ⅰ）因为

，

故最小正周期为

得

故的增区间是．

（Ⅱ）因为，所以．

于是，当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值．

点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键。

22．（1），（2）121， （3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，由此能补全频率分布直方图．

（Ⅱ）利用频率分布直方图估计平均分．

（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．

试题解析：

（1）分数在[120，130）内的频率，因此补充的长方形的高为0.03

（2）估计平均分为

（3）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，

用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，

需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n；

在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d；

设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，

则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d）,（c，d）}，共15个．

事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．

∴P（A）＝＝．

19．（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接，只需证明，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明面，进而转化为证明，，易证三角形为等腰直角三角形，可得；由面面的性质及正方形的性质可证面，得；（3）利用等体积法可得结果.

试题解析：（1）证明：因为为正方形，连接交于点，又因为在中，为中点，为中点，∴，且平面，平面，∴平面；

（2）证明：因为为正方形，∴，又面面，平面平面，平面，所以平面，∴，又，所以是等腰直角三角形，且，即，又因为，且平面，所以平面，又平面，∴平面平面；

（3）因为，所以点到平面的距离等于点到平面距离，

所以，所以三棱锥的体积是.

点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直的判定和三棱锥体积的求法，属于基础题；常见的判定线面平行的方式有1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.

20．(1);(2)见解析.

【解析】试题分析：

1. 由题意求得，则椭圆的方程为;
2. 分类讨论直线的斜率不存在和直线斜率存在两种情况即可证得直线AB过定点.

试题解析：

1. 因为b＝2，△F₁MF₂是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，
   故椭圆的方程为＋＝1.
2. 证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

A点坐标为(x₁，y₁)，B点坐标为(x₂，y₂)，联立方程得，

消去y，得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－8＝0，

则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

由题知k₁＋k₂＝＋＝8，

所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8.

所以k－＝4，整理得m＝k－2.

故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2。

所以直线AB过定点.

②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x₀，A(x₀，y₀)，

B(x₀，－y₀)，则由题知＋＝8，

得x₀＝－.此时直线AB的方程为x＝－，

显然直线AB过点.

综上可知，直线AB过定点.

21．（Ⅰ）递增区间为，递减区间为；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ）由题意可得的定义域为,当时，,所以，由可得，所以或解得或；由可得，所以或，解得

综上可知递增区间为，递减区间为，

（Ⅱ）若时，恒成立，则恒成立，因为，所以恒成立，即恒成立，令，则，因为，所以在上是减函数，且，所以在上为增函数，在上是减函数，时，，，又因为，所以

22．(1)，；（2）.

【解析】试题分析：（1）曲线为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程：，展开代入互化公式可得极坐标方程，曲线的方程为，即，利用互化公式可得直角坐标方程；（2）直线为参数），可得普通方程：，可得极坐标方程：，分别代入极坐标方程即可得出，.

试题解析：（1）圆的标准方程为：，即：，

圆的极坐标方程为：，即：，

（1）曲线：（为参数），化为普通方程：，展开可得：

，可得极坐标方程：，即.

曲线的方程为，

即化为直角坐标方程：.

（2）直线（为参数），可得普通方程：，可得极坐标方程：

.

∴，

，

∴.

【名师点睛】本题考查圆的参数方程、普通方程和极坐标方程的转化、直线的参数方程，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.