2016年四川文数高考试题及答案.doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 设i为虚数单位，则复数(1+i)²=
   1. 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i
2. 设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
   1. 6 (B) 5 (C)4 (D)3
3. 抛物线y²=4x的焦点坐标是
   1. (0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
4. 为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
   1. 向左平行移动个单位长度 (B) 向右平行移动个单位长度
      (C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动个单位长度
5. 设p:实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x+y>2，则p是q的
   1. 充分不必要条件 (B)必要不充分条件
      (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6. 已知a函数f(x)=x³-12x的最小值点，则a=
   1. -4 (B) -2 (C)4 (D)2
7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
   (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
   1. 2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
   
   1. 35 (B) 20 (C)18 (D)9
9. 已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足=1,=，则的最大值是
   1. (B)(C)(D)

-lnx，0

1. 设直线l₁，l₂分别是函数f(x)=图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交
   Lnx,x>1
   于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是
   1. (0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.= 。

12. 已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。

1. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率是 。

14. 若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0，则f（）+f（2）= 。

15. 在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：

若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.

单位圆上的点的“伴随点”还在单位圆上。

若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。

其中的真命题是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。

17.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD。

1. 在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
2. （II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（II）若，求tanB。

19.（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的首项为1， S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q﹥0，n∈N⁺

(Ⅰ)若a₂，a₃，a₂+ a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=2，求e₁²+ e₂²+…+e_n²，

20.（本小题满分13分）

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

21.（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax²－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A

二、填空题

11.12.13. 14.-2 15.②③

三、解答题

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.

由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，

解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.

（Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5

所以2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

17.（本小题满分12分）

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB平面PAB,CM平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.

代入中，有

，可变形得

sinAsinB=sinAcosB=sin (A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sinC，

所以sinAsinB=sinC.

（Ⅱ）由已知，b²+c²–a²=bc，根据余弦定理，有

.

所以sinA=.

由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB=cosB+sinB，

故tanB==4.

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知，两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等差数列，可得，所以，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线的离心率.

由解得.所以，

，

20.（本小题满分13分）

（I）由已知，a=2b.

又椭圆过点，故，解得.

所以椭圆E的方程是.

（II）设直线l的方程为，，

由方程组得，①

方程①的判别式为，由，即，解得.

由①得.

所以M点坐标为，直线OM方程为，

由方程组得.

所以.

又

.

所以.

21.（本小题满分14分）

（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，则=.

当时，>0，所以，从而=>0.

（iii）由（II），当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令=().

当时，=.

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.

综上，.