最新!2022湖南物理高考真题及答案解析出炉
06月11日
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(理工类)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
当P是原点时,定义P的“伴随点“为它自身,平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③若曲线C关于x轴对称,则其“伴随曲线”关于y轴对称;
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________(写出所有真命题的序列).
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中a的值;
(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(III)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
(I)证明:;
(II)若,求.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD. E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
已知数列{}的首项为1,为数列{}的前n项和,,其中q>0,.
(I)若成等差数列,求an的通项公式;
(ii)设双曲线的离心率为,且,证明:.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆E:(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(II)设O是坐标原点,直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣,并求λ的值.
21.(本小题满分14分)
设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(理工类)试题参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.D 5.B
6.B 7.A 8.C 9.A 10.B
二、填空题
11.12.13. 14.–2 15.②③
三、解答题
16.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(Ⅱ)由(Ⅰ),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000.
(Ⅲ)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,
所以2.5≤x<3.
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73,
解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)根据正弦定理,可设===k(k>0).
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入+=中,有
+=,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(Ⅱ)由已知,b2+c2–a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.
所以sinA==.
由(Ⅰ),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,
故tanB==4.
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE,CM平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(Ⅱ)方法一:
由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.
易知PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,
所以AH=.
在Rt△PAH中,PH==,
所以sinAPH==.
方法二:
由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),
所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
由得设x=2,解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα==.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由已知,两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列,可得,即,则,
由已知,,故.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率.
由解得.
因为,所以.
于是,
故.
20.(本小题满分13分)
(I)由已知,,则椭圆E的方程为.
有方程组得.①
方程①的判别式为,由,得,
此方程①的解为,
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为(2,1).
(II)由已知可设直线的方程为,
有方程组可得
所以P点坐标为(),.
设点A,B的坐标分别为.
由方程组可得.②
方程②的判别式为,由,解得.
由②得.
所以,
同理,
所以
.
故存在常数,使得.
21.(本小题满分14分)
(I)
<0,在内单调递减.
由=0,有.
此时,当时,<0,单调递减;
当时,>0,单调递增.
(II)令=,=.
则=.
而当时,>0,
所以在区间内单调递增.
又由=0,有>0,
从而当时,>0.
当,时,=.
故当>在区间内恒成立时,必有.
当时,>1.
由(I)有,从而,
所以此时>在区间内不恒成立.
当时,令,
当时,,
因此,在区间单调递增.
又因为,所以当时,,即恒成立.
综上,