山西省忻州市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学（理）试卷

2015-2016学年度第二学期期末考试试题

高 一 数 学(理科)

命题人：李德亭

注意事项：

1．考生务必用0.5mm黑色中性笔答题.

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．满足条件a=4，b=5，A=45^o的△ABC的个数是 ( )

A．1B．2 C．无数个D．不存在

2．已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝a_n＋2ⁿ，则a₁₀＝ ( )

A．1024 B．1023 C．2048D．2047

3．在数列{a_n}中，a_n＝－2n²＋29n＋3，则此数列最大项的值是 ( )

A．102 B． C． D．108

4．在△ABC中，sin²A≤sin²B＋sin²C－sinBsinC，则A的取值范围是 ( )

A．B．

C．D．

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²＋c²＝a²＋bc.

若sinB·sinC＝sin²A，则△ABC的形状是 ( )

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6．数列{a_n}中，若S_n=3ⁿ+m5，数列{a_n}是等比数列，则m= ( )

A．2B．1C．－1D．4

7．若0＜a＜1，则不等式(xa)(x)>0的解集是 ( )

A．{x|x＜a或x＞}B．{x|＜x＜a}

C．{x|a＜x＜}D．{x|x＜或x＞a}

8．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝(a＋c，b)，

＝(b－a，c－a)，若∥，则角C的大小为 (　　)

A． B． C． D．

9．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f，b＝f，

c＝f，则a、b、c的大小关系是 (　　)

A．c＜a＜bB．a＜b＜c

C．b＜a＜cD．c＜b＜a

10．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有 (　　)

A．a＞b＞c　　　　　B．a＜b＜c

资源库C．b＜c＜aD．a＜c＜b

11．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为 (　　)

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

12．设函数f(x)的定义域为R，f(x)＝且对任意的x∈R都有

f(x＋1)＝f(x－1)，若在区间[－1，3]上函数g(x)＝f(x)－mx－m恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是 (　　)

A．B．

C．D．

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二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13．设a>38，P=－，Q=－，则P与Q的大小关系为

14．数列{a_n}中，a₁＝1，对于所有的n≥2，n∈N^*，都有a₁·a₂·a₃·…·a_n＝n²，

则a₃＋a₅＝______________.

15．设当x＝θ时，函数f(x)＝2sinx－cosx取得最大值，则cosθ＝______________.

16．给出下列结论:

①2ab是a²+b²的最小值;

②设a>0，b>0，2的最大值是a+b;

③ + 的最小值是2；

④若x>0，则cosx+≥2=2；

⑤若a>b>0，>>．

其中正确结论的编号是______________.（写出所有正确的编号）

三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．(本小题满分10分)已知1≤lg≤2，2≤lg≤3，求lg的取值范围．

18．(本小题满分12分)

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组	频数	频率
60～70	a	0.16
70～80	10
80～90	18	0.36
90～100		b
合计	50

1. 若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
2. 求频率分布表格中a,b的值，并估计800学生的平均成绩；
3. 若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？

19．(本小题满分12分)已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁＝3，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁＝1，且a₂b₂＝12，S₃＋b₂＝20.

(1)求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

20．(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c且cosA＝.

(1)求cos²＋cos2A的值; (2)若a＝,求ΔABC面积的最大值.

21．(本小题满分12分)向量＝(2，2)，向量与向量的夹角为，且·＝－2.

(1)求向量； (2)若＝(1，0)，且⊥，＝，其中A、B、C是△ABC的内角，若△ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|＋|的取值范围．

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x1，且f(0)＝3

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数y＝f(log₃x+m)，x[,3]的最小值为3，求实数m的值；

(3)若对任意互不相同的x₁,x₂(2,4)，都有|f(x₁)f(x₂)|1-x₂|成立，求实数k的取值范围．

附加题：(本题每题5分，共15分)

1．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ．

2．数列{a_n}满足a_n＋1＋(－1)ⁿa_n＝2n－1，则{a_n}的前60项和为 ．

3．已知函数f(x)＝|x²－4x＋3|，若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．

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2015-2016学年度第二学期期末考试试题

高 一 数 学 （理科）（参考答案）

一、选择题

1-6：DBDCCD 7-12：ABADDB

二、填空题

13、P>Q 14、 15、－ 16、⑤

三、解答题

17．(本小题满分10分)已知1≤lg≤2，2≤lg≤3，求lg的取值范围．

解：由变形，得…………3分

∴lg ＝3lg x－lg y＝m(lg x－lg y)+n(3lg x－lg y) …………7分

≤lg ≤3，∴lg 的取值范围是.……10分

18．(本小题满分12分)

为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组	频数	频率
60～70	a	0.16
70～80	10
80～90	18	0.36
90～100		b
合计	50

1. 若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
2. 求频率分布表格中a,b的值，并估计800学生的平均成绩；
   (3)若成绩在85～95分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
   解：(1)编号为016.………2分
   (2)a=8；b=0.28………4分
   平均成绩约为82.6………8分
3. 在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是＝0.32，即获二等奖的概率为32%，

所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．

答：获二等奖的大约有256人．………12分

19．(本小题满分12分)已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁＝3，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁＝1，且a₂b₂＝12，S₃＋b₂＝20.

(1)求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

解：(1)设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，则a₂b₂＝(3＋d)q＝12，

S₃＋b₂＝3a₂＋b₂＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，

则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d²＝12，

即3d²－2d－21＝0，

(3d＋7)(d－3)＝0.………3分

∵{a_n}是单调递增的等差数列，∴d>0，

∴d＝3，q＝2，a_n＝3＋(n－1)×3＝3n，b_n＝2^n-1.………6分

(2)c_n＝a_nb_n＝3n×2^n-1

T_n＝3×1×2⁰+3×2×2¹+3×3×2²+……+3×(n-1)×2^n-2+3×n×2^n-1

2T_n＝ 3×1×2¹+3×2×2²+…………………… +3×(n-1)×2^n-1+3×n×2ⁿ…8分

-T_n＝3+3(2¹+2²+…+2^n-1)- 3×n×2ⁿ=3×- 3×n×2ⁿ=3×2ⁿ-3- 3×n×2ⁿ=-3-3×2ⁿ(n-1)

T_n＝3+3×2ⁿ(n-1)………12分

20．(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c且cosA＝.

（1）求cos²＋cos2A的值; （2）若a＝,求ΔABC面积的最大值.

【解析】

……6分

由余弦定理:

.∴,

……8分

当且仅当时有最大值，

……10分

∴……12分

考点：降幂公式、二倍角公式、余弦定理

21．(本小题满分12分)向量＝(2，2)，向量与向量的夹角为，且·＝－2.

(1)求向量；

(2)若＝(1，0)，且⊥，＝，其中A、B、C是△ABC的内角，若△ABC的内角A、B、C依次成等差数列，试求|＋|的取值范围．

解：(1)设＝(x，y)，则·＝2x+2y=-2，且·＝||·||·cos

-2＝2×(-)||x²+y²＝1，得或

∴＝(－1，0)或＝(0，－1)……………5分

(2)∵⊥，＝(1，0)，∴＝(0，－1)

∵A、B、C依次成等差数列，∴B＝，A+B＝

＋＝(cosA,2cos²-1)＝(cosA,cosC)……………7分

∴|＋|²＝cos²A+cos²C＝1+(cos2A+cos2C)＝1+(cos2A+cos(-2A))

＝1+(cos2A-cos2A-sin2A)＝1+cos(2A+)……………10分

∵2A+(,)，

∴－1≤cos(2A+)<≤|＋|²<≤|＋|²<……………12分

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)＝2x1，且f(0)＝3

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数y＝f(log₃x+m)，x[,3]的最小值为3，求实数m的值；

(3)若对任意互不相同的x₁,x₂(2,4)，都有|f(x₁)f(x₂)|1-x₂|成立，求实数k的取值范围．

解：(1)设f(x)＝ax²+bx+c，则f(x+1)＝a(x+1)²+b(x+1)+c

∵f(x+1)－f(x)＝2x-1，∴a=1,b=2,c=3，即：f(x)＝x²2x+3………3分

(2) 令t= log₃x+m，则t[m-1,m+1]，则y＝f(log₃x+m)＝f(t)＝t²-2t+3＝(t-1)²+2

当1≤m-1m≥2时，则f(m-1)＝3 m＝3

当1≥m+1m≤0时，则f(m+1)＝3 m＝1

当m-1<101或m＝3………8分

(3) |f(x₁)-f(x₂)|1-x₂||x₁-x₂||x₁+x₂-2|1-x₂|

∵x₁≠x₂，∴k>|x₁+x₂-2|k>|x₁+x₂-2|_MAX

∵x₁,x₂(2,4)且x₁≠x₂，∴|x₁+x₂-2|<6，∴k≥6………12分

附加题：(本题每题5分，共15分)

1．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ．

答案：18

2．数列{a_n}满足a_n＋1＋(－1)ⁿa_n＝2n－1，则{a_n}的前60项和为 ．

答案：1830

3．已知函数f(x)＝|x²－4x＋3|，若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．

答案[1，]