江苏省扬州市2016-2017学年高一下学期期末调研数学试卷

扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题

高一数学

2017．6

（满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1. 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．▲．

2．不等式的解为▲．

3．中，，则▲．

4． 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为▲．

5．已知，，则▲．

6． 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为▲．

7．若等差数列的前项和为，，，则使得取最大值时的正整数▲．

8．已知，，是三个平面，，是两条直线，有下列四个命题：

①如果，，那么；

②如果，，那么；

③如果，，那么；

④如果，，，那么．

其中正确的命题有▲．（写出所有正确命题的序号）

9．已知且，则▲．

10．若数列的前项和为，若，则正整数的值为▲．

11．已知正数满足，则的最小值为▲．

12．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．

（第12题）

从A点测得，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得

∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝▲米．

13．在数列中，对任意成立，其中常数．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是▲．

14．在中，角的对边分别为．若，，则的最小值是▲．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知：．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

16．（本题满分14分）

已知：三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面．

17．（本题满分14分）

已知正项等比数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本题满分16分）

在锐角中，角的对边分别为，满足．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积，求的值；

（3）若函数，求的取值范围．

19．（本题满分16分）

水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．

（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？

（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．

20．（本题满分16分）

已知数列满足：对于任意且时，，．

（1）若，求证：为等比数列；

（2）若．

① 求数列的通项公式；

② 是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题

高 一 数 学 参 考 答 案2017．6

1．2．3．4．5．

6． 7．3 8．①④ 9．10．6

11．4 12．450 13．14．

15．解：（1）

，∴............6分

（2）∵∴，解得：...........10分

∴............14分

16．证：（1）∵，分别为，的中点

∴

∵平面，平面

∴平面............6分

（2）∵，为的中点

∴

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面............9分

∵平面∴

∵，∴............11分

∵平面，平面，

∴平面． ............14分

17．解：（1）设正项等比数列的公比为，若，则，不符合题意；

............2分

则∴，解得：............5分

∴............7分

（2）①

② ...........9分

①②得：

...........13分

∴...........14分

18．解：（1）根据正弦定理得：

∵∴

∴∵∴...........4分

（2）∵∴...........6分

∵

∵∴...........9分

（3）

∴...........12分

∵为锐角三角形 ∴，又∴...........14分

∴∴∴的取值范围为．...........16分

19．（1）∵营养液有效则需满足，则或，解得，

所以营养液有效时间可达4天． ...........6分

（2）设第二次投放营养液的持续时间为天，则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；

∴，，

在上恒成立 ..........10分

∴在上恒成立

令，， ..........13分

又，当且仅当，即时，取等号；

所以的最小值为．

答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为． ..........16分

20．（1）当时，且

∴为常数

∴为等比数列 ........3分

（2）①当时，

∴

…………

∴

∵∴

又满足上式，所以． ............8分

② 假设存在满足条件的，不妨设，

∴（*）

∴............10分

∴即

由（1）得且∴∴

若，代入（*），解得：（舍） ............13分

∴即∴

∴∴∴

∵∴可取

代入（*）检验，解得：

∴存在满足题意． ............16分