海南省文昌中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学（理）试卷

2016—2017学年度第二学期

高一年级数学(理科)期考试题

（满分：150分 考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。）

1．已知a<0，－1<b<0，则下列各式正确的是（ ）

A．a>ab>ab²B．ab>a>ab²C．ab²>ab>aD．ab>ab²>a

2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝（ ）

A．B．C．D．

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃＋a₅＝8，则S₇＝（ ）

A．28B．32C．56D．24

4．在各项均为正数的等比数列中，，则数列的前10项和等于（ ）

A．20B．10C．5D．

5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ）

A．有一解B．有两解

C．无解D．有解但解的个数不确定

6．等差数列{a_n}中，>0，<0，当其前n项和取得最大值时，n＝（ ）

A．4B．8C．5D．9

7．设是等差数列的前n项和，若（ ）

A．2B．－1C．1D．

8．正数a，b满足＋＝1，则a＋b的最小值是（ ）

A．12B．16C．18D．9

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，则A＝（ ）

A．30°B．45°C．60°D．120°

10．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）

A．或－1B．2或C．2或1D．2或－1

11．△ABC中，A、B、C是其内角，若sin2A＋sin(A－C)－sinB＝0，则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰或直角三角形D等腰直角三角形

12．若数列{a_n}满足，(P为非零常数)，则称数列{a_n}为“梦想数列”。已知正项数列{}为“梦想数列”，且，则的最小值是（ ）

A．42B．4C．6D．8

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若a＞1，则a＋的最小值是________．

14．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为________．

15．数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且a₁、a₃、a₇为等比数列{b_n}的连续三项，则数列{b_n}的公比为________．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝ . 若a＝6，b＋c的取值范围为________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝x²＋ax＋6.

（1）当a＝5时，解不等式f(x)<0；

（2）若不等式f(x)>0的解集为R，求实数a的取值范围.

18．（本小题满分12分）在ABC中，角，，所对的边分别为为，，，

且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，，求，的值.

19．（本小题满分12分）已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀＝55.

（1）求a_n和S_n；

（2）设b_n＝，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n.

20．（本小题满分12分）在△ABC中，点D在BC边上，已知cos∠CAD＝，cosC＝.

（1）求∠ADC；

（2）若AB＝，CD＝6，求BD.

21．（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要多少小时．

22．（本小题满分12分）已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁＝，a_n＋1＝a_n.

（1）证明：数列{}是等比数列；

（2）求通项公式a_n与前n项的和S_n；

（3）设b_n＝n(2－S_n)，n∈N^*，若集合M＝{n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

---

2016—2017学年度第二学期

高一年级数学(理科)期考试题参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	A	A	B	C	A	C	B	D	D	C	B

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．3 14．9 15．2 16．(6,12]

三、解答题（共70分）

17．解：（1）因为当a＝5时，不等式f(x)<0，

即x²＋5x＋6<0，

所以(x＋2)(x＋3)<0，

所以－3<x<－2，所以不等式f(x)<0的解集为{x|－3<x<－2}．……（6分）

（2）不等式f(x)>0的解集为R，

即关于x的一元二次不等式x²＋ax＋6>0的解集为R.

所以Δ＝a²－24<0， ……………………………………（9分）

解得－2<a<2，

所以实数a的取值范围是(－2，2)． …………………………（12分）

18．解：（Ⅰ）由已知，∴

∵，∴，∴……………………（5分）

（Ⅱ）由余弦定理，又

∴，∴

由解得………………（12分）

19．解：（1）设数列{a_n}的公差为d，

则a₁＝d，a_n＝a₁＋(n－1)d＝nd，

由S₁₀＝a₁＋a₂＋…＋a₁₀＝55d＝55，解得d＝1.

所以a_n＝n，S_n＝＝n(n＋1). …………………………（6分）

（2）由(1)得b_n＝＝2，

所以T_n＝2＋2＋2＋…＋2

＝2. ……………………………………（12分）

20．解：（1）在△ADC中，∠CAD，∠C∈(0，π)，

又∵cos∠CAD＝，cosC＝，

∴sin∠CAD＝，sinC＝，

∴cos∠ADC＝－cos(∠CAD＋∠C)＝－cos∠CADcosC＋sin∠CADsinC

＝－×＋×＝－.

所以∠ADC＝. ……………………………………（6分）

（2）在△ADC中，由正弦定理，得AD＝＝3.

在△ABD中，∠ADB＝π－∠ADC＝.

由余弦定理，得10＝BD²＋18－2×3×BD×，

化简得BD²－6BD＋8＝0，解得BD＝4或BD＝2.

综上所述，BD＝4或BD＝2. ……………………（12分）

21．解：由题意知AB＝5(3＋)，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，

所以∠ADB＝105°，

在△ABD中，由正弦定理得

＝

所以BD＝＝＝10. …………………………（6分）

又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，

在△DBC中，由余弦定理得

CD²＝BD²＋BC²－2×BD×BCcos60°

＝300＋1 200－2×10×20×＝900， …………………………（10分）

所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝＝1(小时)．………………（12分）

22．解：（1）因为a₁＝，a_n＋1＝a_n，当n∈N^*时，≠0.

又因为＝，∶＝(n∈N^*)为常数，

所以{}是以为首项，为公比的等比数列． ……………………（3分）

（2）由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝×()^n－1＝()ⁿ.

所以a_n＝n×()ⁿ.

由错位相减法得S_n＝2－()^n－1－n()ⁿ. …………………………（8分）

（3）因为b_n＝n(2－S_n)(n∈N^*)，所以b_n＝n()^n－1＋n²()ⁿ.

因为b_n＋1－b_n＝(3－n²)()^n＋1，

所以b₂>b₁，b₂>b₃>b₄>….

集合M＝{n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有4个元素，

且b₁＝b₄＝，b₂＝2， b₃＝，b₅＝，

所以<λ≤. ……………………………………………………（12分）