福建省连江县尚德中学2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷

福建省连江尚德中学2015-2016学年高一上学期十二月考

数学试题

（时间120分钟 满分150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)

1．下列说法正确的是（ ）

A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形

C.梯形一定是平面图形 D.平面和平面有不同在一条直线上的三个交点

2．已知A（-1，3）、B（3，-1），则直线AB的倾斜角为( )

1. 45^o B. 60^o C . 120^o D. 135^o
   3．经过点，倾斜角为的直线方程是（ ）
   A．B．C．D．
   4．对于直线的截距，下列说法正确的是 （ ）
   .在轴上的截距是6；.在轴上的截距是6；
   .在轴上的截距是3；.在轴上的截距是。
   5．若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
   A．若，则B．若，则
   C. 若，则D．若，则
   6.一个几何体的三视图如图l所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为( )
   A．1B．C．D．
   7.已知两个平面垂直，下列命题
   ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
   ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
   ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
   ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
   其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
   8．如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
   Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°
   9． 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）
   1. B.　　　　C.　　　　D.

10.如图长方体中，AB=AD=2，CC₁=，

则二面角C₁—BD—C的大小为（ ）

Ａ．30°B．45°　C．60°D．90°

11.向高为H的水瓶A、B、C、D中同时以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象是左下图，则水瓶的形状为（ ）

12.已知点A（0,2），B（4,0），C(-2，1),若直线CD与直线AB相交，且交点D在线段AB上，直线CD的斜率为k,求的取值范围（ ）

A.BCD

第Ⅱ卷

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.)

13.若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（，ｍ）三点共线，则ｍ的值 　

14．已知直线，且，则

15.设是外一点，则使点在此三角形所在平面内的射影是的外心的条件为

16.如图，空间四边形的对棱、成90⁰的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．

在的上，截面的最大面积是

---

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）

17.已知直线经过（-2, 2），且垂直于直线.

（1）求直线的方程；

（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.

18．如图所示，在长方体中，，，连接。

（1）求三棱锥的体积

（2）求证：

19.已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值。

---

20.如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点 , 设AC中点为O.

(1）求证：平面EFO∥平面PAD

（2）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

21.如图所示，在正方体中，是棱的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点，使//平面？证明结论．

22．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．

(1)证明：AM⊥PM；

(2)求二面角P－AM－D的大小．

参考答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	B	A	C	B	B	B	A	A	A	B

13.14.或 15.PA=PB=PC 16.

17：（Ⅰ）

由于点P的坐标是（，2）.则所求直线与垂直，

可设直线的方程为.把点P的坐标代入得，

即.所求直线的方程为. ……………………………6分

（Ⅱ）由直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是、，

所以直线与两坐标轴围成三角形的面积. ……………12分

18证明（1）如图，在长方体中

，，

是三棱锥的高，-----1分

，-----2分

-----5分

（2）连结，

，

………………………………………………..-----7分

又，是正方形，----……………..-10分

，---…………..…………………--12分

19. （本题满分12分）

解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，

故无论k取何值，直线l总过定点(2，1)．………6分

法二：设直线过定点(x₀，y₀)，则kx₀－y₀＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，

即(x₀－2)k－y₀＋1＝0恒成立，

∴x₀－2＝0，－y₀＋1＝0，

解得x₀＝2，y₀＝1，故直线l总过定点(2，1)．…………6分

(2)因直线l的方程为y＝kx－2k＋1，

则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－，

依题意：1－2k＝2－ >0解得k＝－1 或k＝（经检验，不合题意）

所以所求k＝－1 …………12分

20．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
（1）在△PAC中，∵F、O分别为PC、AC的中点
∴FO∥PA…………①在△ABC中，

∵E、O分别为AB、AC的中点∴EO∥BC,又

∵BC∥AD∴EO∥AD…………②

综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD …………………………..6

（2）若PDA＝45，则PA＝AD＝BC∵EOBC，FOPA

∴FO＝EO又∵FO⊥平面AC

∴FEO为EF与平面ABCD所成的角的大小．

∴ △FOE是直角三角形 ∴ FEO＝45………………………………………..12

21解：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴B₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
∵A₁B⊆平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥A₁B．                 …（2分）
又∵正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，且B₁C₁、AB₁是平面ADC₁B₁内的相交直线
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁．…（4分）
∵A₁B⊆平面A₁BE，∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ）当点F为C₁D₁中点时，可使B₁F∥平面A₁BE．…（7分）
证明如下：
∵△C₁D₁D中，EF是中位线，∴EF∥C₁D且EF=C₁D （9分）
设AB₁∩A₁B=O，则平行四边形AB₁C₁D中，B₁O∥C₁D且B₁O=C₁D

∴EF∥B₁O且EF=B₁O，
∴四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE．…（12分）
∵B₁F⊈平面A₁BE，OE⊆平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE                                  …（14分）

22[解析]　(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，

∴EM²＋AM²＝AE².∴AM⊥EM.

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM……………….6

(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°.

∴二面角P－AM－D的大小为45°. …….14

16解：与成90⁰角，

∠HGF=90⁰，设，，

，，由，

得．S_{四边形EFGH}=EF.EH==

．

当时，，

即当为的中点时，截面的面积最大，最大面积为．…………………..14