青海省西宁四中2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷

西宁市第四高级中学15—16学年第一学期第一次月考试卷

高 一 数 学

出题人： 黄红娟

1. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合，，则（ ）

1. B.C.D.

2．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）

A.与

B.与

C.与

D.与

3．函数的定义域是（ ）

1. B.C.D.

4．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）

1. B.C.D.

5．设函数，则（ ）

1. B.3 C.D.

6．下列函数中为偶函数的是（ ）

1. B.C.D.

7．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）

1. B.C.D.

8．设，，能表示从集合到集合的函数关系的图象是( )

9．设偶函数的定义域为，在区间上为增函数，则的

大小关系是（ ）

1. B.

C.D.

10．已知函数，，则（ ）

1. B.C.D.

11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )

1. B.C.D.

12．已知是定义在上的函数，且的图像关于坐标原点对称；当时，.若，则实数的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若集合满足，则这样的集合有____________个.

14．已知函数由右表给出，若，则____________

15．若是定义在上的偶函数，则__________.

16. 下列叙述正确的有

①集合，,则

②若函数的定义域为，则实数

③函数是奇函数

④函数在区间上是减函数

三．解答题：（本大题共６小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知集合，.

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）已知，若，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）已知函数，其中.

（Ⅰ）用定义证明函数在上单调递减；

（Ⅱ）结合单调性，求函数在区间上的最大值和最小值.

19．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数．若时，.

（Ⅰ）当时，求函数的解析式；

（Ⅱ）画出的简图；（要求绘制在答题卷的坐标纸上）；

（Ⅲ）结合图像写出的单调区间（只写结论，不用证明）.

20．(本小题满分12分)已知函数，.

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

21．(本小题满分12分)某市有甲，乙两家室内羽毛球馆，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲羽毛球馆每小时50元；乙羽毛球馆按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）900元，超过30小时的部分每小时20元.肖老师为了锻炼身体，准备下个月从这两家羽毛球馆中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设甲羽毛球馆健身小时的收费为元，乙羽毛球馆健身小时的收费为元.

（Ⅰ）当时，分别写出函数和的表达式；

（Ⅱ）请问肖老师选择哪家羽毛球馆健身比较合算？为什么？

22．（本小题满分12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.

（Ⅰ）证明函数是奇函数；

（Ⅱ）讨论函数在区间上的单调性；

1．A

【解析】

试题分析：因为，所以，故选择A.

考点：集合的运算.

2．B

【解析】

试题分析：同一函数的标准是定义域、值域、对应法则完全相同，A、C、D中的两个函数定义域不同，只有B中的两个函数满足同一函数的标准，故选择B.

考点：函数的概念定义.

3．B

【解析】

试题分析：使函数有意义，则需满足，解得且，故选择B.

考点：函数的定义域及不等式的解法.

4．C

【解析】

试题分析：因为，所以或，解得，故选择C.

考点：集合的包含关系.

5．C

【解析】

试题分析：,，所以，故选择C.

考点：求分段函数的函数值.

6．D

【解析】

试题分析：偶函数必须满足：1、定义域关于原点对称；2、，A不满足，B不满足定义域关于原点对称，C为奇函数，只有D为偶函数，故选择D.

考点：函数的奇、偶性.

7．B

【解析】

试题分析：A、C、D在区间上都是减函数，只有B在上是增函数，故选择B.

考点：基本初等函数的性质.

8．D

【解析】

试题分析：首先能表示函数图象的是A、B、D，而要表示从集合到集合的函数关系的图象只有D，故选择D.

考点：函数的概念与图象.

9．D

【解析】

试题分析：因为为上的偶函数，所以，又在区间上为增函数，且，所以，即，故选择D.

考点：函数的单调性与奇偶性的综合.

10．A

【解析】

试题分析：因为，所以，从而，故选择A.

考点：函数的奇、偶性.

11．C

【解析】

试题分析：首先要保证两段都要增，一次有且，其次还要保证在分界点处有，综上有，故选择C.

考点：分段函数的单调性及基本初等函数的性质.

12．A

【解析】

试题分析：因为的图象关于坐标原点对称，所以函数为奇函数，

当时，有，它在上为增函数，从而有在也为增函数，又它在处不间断，所以函数在为增函数，因此，等价于，即，解得或，故选择A.

考点：函数性质的综合应用及解一元二次不等式.

13．

【解析】

试题分析：集合满足，则或或，所以这样的集合有个.

考点：集合之间的包含关系.

14．

【解析】

试题分析：满足，只有才适合题意

考点：函数的概念定义及列表表示.

15．

【解析】

试题分析：，因为为偶函数，所以，即，所以必有，即.

考点：偶函数的性质.

16．②④

考点：函数、方程的综合应用.

17．（Ⅰ），或；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）注意交集运算与并集运算的区别，不能将并集运算当作交集运算，对于与实数有关的数集运算可借助于数轴；（Ⅱ）集合之间的包含关系，也可借助于数轴更直观，注意端点的归宿.

试题解析：（Ⅰ）3分

或，

∴或7分

（Ⅱ）10分

考点：集合的交、并、补运算.

18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ），.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）单调性的证明必须按照定义证明，其步骤分为：取值、作差、变形、定号、对照定义下结论.（Ⅱ）知道了函数在给定区间上的单调性，求最值就很容易.

试题解析：（Ⅰ）证明：设是区间上的两个任意实数且2分

5分

∵∴，，

∴，即.

在上是单调减函数 8分

（Ⅱ）在上是单调减函数，

∴10分

12分

考点：函数的单调性与最值.

19．（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）单调区间有.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用偶函数的图象关于轴对称，可得时的解析式，或运用偶函数的定义求时的解析式；（Ⅱ）先作出的图象，再运用偶函数图象关于轴对称，作出另一半的图象，或根据分段函数的解析式在同一坐标系中作出各自的图象；（Ⅲ）对照图象，根据变化趋势，直接写出单调区间.

试题解析：（Ⅰ）当时，

于是2分

又∵在上是偶函数

∴当时，4分

（Ⅱ）图像如右图

8分

（Ⅲ）的单调区间有. 12分

考点：函数的奇偶性与单调性.

20．（Ⅰ）的值域是；（Ⅱ）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）作出函数图象在给定区间上的简图，对照图象结合单调性，写出最值，从而得到值域；（Ⅱ）二次函数以对称轴为界，一边增，一边减，因此区间必须在对称轴的一侧.

试题解析：（Ⅰ）当时，，2分

∵在上是减函数，上是增函数，

∴，而，

∴且

∴的值域是. 6分

（Ⅱ），8分

若函数在区间上是单调函数，则当且仅当

或11分

即或

∴实数的取值范围是12分

考点：二次函数的图象与性质.

21．（Ⅰ），，；（Ⅱ）当时，选甲家比较合算；当时，两家一样合算；当时，选乙家比较合算.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的表达式易求得，对于的表达式需对分情况讨论，建立一个分段形式的表达式，分类的标准是和；（Ⅱ）对函数值作比较，以收费低的作为选择的标准，结论依据锻炼的时间不同而不同.

试题解析：（Ⅰ），， 3分

； 6分

（Ⅱ）当时，， 7分

即当时，； 8分

当时，； 9分

当时，；

当时，； 10分

∴当时，选甲家比较合算；当时，两家一样合算；

当时，选乙家比较合算. 12分

考点：函数的实际应用.

22．（Ⅰ）奇函数；（Ⅱ）单调递增函数；（Ⅲ）或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对于抽象函数的研究，往往用赋值法，即给变量赋予特殊值或特殊关系，奇偶性的判断需从定义出发；（Ⅱ）单调性的研究也必须从定义出发；

（试题解析：（Ⅰ）因为有，

令，得，所以， 1分

令可得：

所以，所以为奇函数. 6分

（Ⅱ）是定义在上的奇函数，由题意设，则

由题意时，有，

是在上为单调递增函数； 12分

考点：抽象函数及其性质的综合应用.