上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题

一.填空题（每小题3分，共36分）

1．二元一次方程组的增广矩阵是 .

2．化简.

3．已知直线过点,且有一方向向量与向量垂直，

则的方程为 .

4．向量在向量方向上的投影为 .

5．两平行直线与间的距离是 .

6．如图所示的程序框，若输入的是100，

则输出的变量的值是 .

7．已知直线和的夹角为，

则的值为 .

8．直线的倾斜角的取值范围是 .

9．若点,，过线段的中点，使两点到直线的距离都等于3，则直线的方程是 .

10．两个向量,满足，，,的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .

11．设是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：

①，②，③，④．

那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是____________（写出满足条件的所有向量的序号）．

12. 设平面上三点、、不共线，平面上另一点满足，则的面积与四边形的面积之比为 .

二.选择题（每小题3分，共12分）

13． “”是“行列式”的 （ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件

14．设，向量且，则 （ ）

（A）（B）（C）（D）10

15．在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是 ( )

（A）平行 （B）垂直 （C）重合 （D）相交但不垂直

16. 设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 （ ）

（A）1 （B） （C） 2 （D）

三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题 14分， 共52分）

17．已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素的代数余子式的值，求实数的取值范围。

18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，AC边上的高所在的直线方程是。

求：（1）AC边所在的直线方程；

（2）AB边所在的直线方程。

19．已知：，其中、与两坐标轴围成一个四边形。

（1）求两直线的交点；

（2）为何值时，四边形面积最小？并求最小值。

20．在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。

（1）若，，求；

（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上。

21．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作.已知非零的向量列满足：，。

（1）证明数列是等比数列；

（2）设表示向量的夹角的弧度数，若，

，求；

（3）设，把，，……，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，为坐标原点，求点列的极限点的坐标。（注：若点坐标为，，则点为点列的极限点。

金山中学2014学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷答案

（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：俞丹萍 审核人：陈繁球）

一.填空题（每小题3分，共36分）

1．二元一次方程组的增广矩阵是.

2．化简.

3．已知直线过点,且有一方向向量与向量垂直,

则的方程为 .

4．向量在向量方向上的投影为___ __.

5．两平行直线与

间的距离是 .

6．如图所示的程序框，若输入的是100，

则输出的变量的值是 . 5049

7．已知直线和的夹角为，则的值为 . 或

8．直线的倾斜角的取值范围是 .

9．若点,，过线段的中点，使两点到直线的距离都等于3，则直线的方程是 . 或

10．两个向量,满足，，,的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .

11．设是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：

①，②，③，④．

那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是____________（写出满足条件的所有向量的序号）． ①③④

12. 设平面上三点、、不共线，平面上另一点满足，则的面积与四边形的面积之比为 . 2:7

二.选择题（每小题3分，共12分）

13．“”是“行列式”的 （ D ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件

14．设，向量且，则 （ B ）

（A）（B）（C）（D）10

15．在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是 ( C )

（A）平行 （B）垂直 （C）重合 （D）相交但不垂直

16. 设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 （ D）

（A）1 （B） （C） 2 （D）

三.解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题 14分， 共52分）

17．已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素的代数余子式的值，求实数的取值范围.

18．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，AC边上的高所在的直线方程是

求：（1）AC边所在的直线方程；

（2）AB边所在的直线方程。

解：（1）由题意，直线的一个法向量是AC边所在直线的一个方向向量

AC边所在直线方程为2x+y－5=0。

（2）y=1是AB中线所在直线方程

设AB中点P，则B满足方程

，得，P(－1,1)

则AB边所在直线方程为。

19．已知：，其中、与两坐标轴围成一个四边形。

（1）求两直线的交点；

（2）为何值时，四边形面积最小？并求最小值。

两直线都过定点（2,2） 过程略

（2）由，

与轴，轴交点为，，

与轴，轴交点为，，

则。所以时，。

20．在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。

（1）若，，求；

（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；

21．我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作.已知非零的向量列满足：，。

（1）证明数列是等比数列；

（2）设表示向量的夹角的弧度数，若，，求；

（3）设，把，，……，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，为坐标原点，求点列的极限点的坐标。（注：若点坐标为，，则点为点列的极限点。

解：（1）

，

数列是等比数列

（3），，，，

即，

，

，

极限点的坐标