云南省大理州南涧民族中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

南涧县民族中学2016-2017学年下学期期中考

高二数学试题（文科）

班级 姓名 学号

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合，则

A．B．C．D．

2．已知为虚数单位，复数满足，则复数所对应的点Z在

1. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
   3．在区间上随机取一个数若满足的概率为，则实数为
   A．B．C．D．
   4．在等差数列中，已知的等比中项，则数列的前项的和为
   1. B.C.D.

5． 已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，则

A.B.C.D.

6.过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点()，则

A.B.C.D.

7. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

A．B．C．D．

8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为

(参考数据：)

A．，，B.，，

C.，，D.，，

9．关于函数下列结论正确的是

A.有最大值，最小值 B. 有最大值，最小值

C.有最大值，最小值 D. 有最大值，最小值

10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为

A．B.C.D.

11．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为，直线与以原点O为圆心,为半径的圆相切于A点，线段的垂直平分线恰好过点，则离心率的值为

A．B．C．D．

12． 设函数是定义在（0，π）上的函数的导函数，有sinx－cosx＜0，，b=0，，则

A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．c＜a＜b

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知菱形的边长为2，，点满足，则．

14．若，，且满足则的最大值等于 ．

15．下列命题中，正确的命题序号是 ．

①. 已知，两直线，则“”是“”的充分条件；

②. 命题“，”的否定是“，”；

③.“”是“”的必要条件；

④. 已知，则“”的充要条件是“” ．

16．已知数列满足，且，则的通项公式为__________．

三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若c＝，角B的平分线BD＝，求a．

18．（本小题满分12分）

下面是年龄的分布表：

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50）
人数	28	a	b

某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求正整数的值；

（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第组得员工人数分别是多少？

（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书

	喜欢阅读国学类	不喜欢阅读国学类	合计
男	14	4	18
女	8	14	22
合计	22	18	40

籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）

根据表中数据，我们能否有的把握认为

该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？

附：，其中.

	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	3. 841	5.024	6.635	7.879	10.828

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=6．

(Ⅰ)求证：OD ⊥平面ABC；

(Ⅱ)求三棱锥M -ABN的体积.

20．（本小题满分12分）

已知点分别为椭圆的左，右顶点，点，直线交于点，且是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的动直线与相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数，，且函数的图象在点处的切线与直线平行．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求证：当时，．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极轴，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.

（I）求圆的圆心到直线的距离；

（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.

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南涧县民族中学2016-2017学年下学期期中考

高二文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（每题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	A	B	D	B	D	A	B	C	D	C	A

二、填空题（每题5分，共20分）

13．0 14．15 15. ①③④ 16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

【解析】：（Ⅰ）2acosC－c＝2b，由正弦定理得 2sinAcosC－sinC＝2sinB， …2分

2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，

∴－sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝－，

而A∈(0, π)，∴A＝. …………………………………………6分

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，＝

∴sin∠ADB＝＝，……………………………………8分

∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝

由余弦定理，a=BC＝＝. …………………12分

18．（本小题满分12分）

【解析】：（Ⅰ）总人数：，

第3组的频率是：

所以…………………………………………………4分

（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有（人），

利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：

第1组抽取的人数为（人），

第2组抽取的人数为（人），

第3组抽取的人数为（人），

所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.………………………………8分

（Ⅲ）假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，

求得的观测值，

查表得，从而能有的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国

学类书籍和性别有关系…………………………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】：（Ⅰ）证明：是菱形，∴，

在中，， ∴

又是中点， ∴

， ∴

面，

∴面. ………………6分

（Ⅱ）解：取线段AO的中点E，连接NE.∵N是棱AD的中点，∴.

∵由（Ⅰ）得面,∴面

在中，

∴. ……………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】：（Ⅰ）由题意知△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），

设Q（x₀，y₀），由，则，代入椭圆方程，解得b²=1，

∴椭圆方程为.……………5分

（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则，整理得：（1+4k²）x²﹣16kx+12=0，

由韦达定理可知：x₁+x₂=，x₁x₂=，……………8分

由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，

即（﹣16k）²﹣4×12×（1+4k²）＞0，解得：k²＞，………①……………9分

由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则，即x₁x₂+y₁y₂＞0，

则x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁﹣2）（kx₂﹣2）

=（1+k²）x₁x₂﹣2k×（x₁+x₂）+4

=（1+k²）﹣2k×+4＞0，

解得：k²＜4，………………………………………………②……………11分

综合①②可知：＜k²＜4，解得＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，

直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．……………12分

21.（本小题满分12分）

【解析】：(Ⅰ)因为，故故……………………①

依题意，；又,故…………②

联立①②解得………………………………………………5分

（Ⅱ）证明：要证，即证……………6分

令

∴

故当时，

令，因为的对称轴为，且

故存在，使得

故当时，，

故，即在上单调递增

当时，，故

即在上单调递减

又因为

故当时，………………10分

又当时，………………11分

所以，即………………12分

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）解：圆C：，C

由可得直线的方程为，

所以圆的圆心到直线的距离为………………….5分

（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，

即，由于，

故可设是上述方程的两个实根，

所以又直线过点，

故由上式及其几何意义得…………………10分