云南省昆明市第三中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

昆明三中2016-2017学年上学期高二年级期中考试

理 科 数 学

命题人：俞 纲

考生注意：

1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试

时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、学号在答题卡上填写清楚。

3．考试结束，监考人员收答题卡，本试卷不收，请考生妥善保管。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案涂在答题卡上。

1.双曲线的焦距为（ ）

1. B. 4C. 3D. 4

2．若直线与直线平行，则实数=（ ）

A．B．C．D．，或2

3 已知命题 在命题

1. 中，真命题是（ ）
2. A①③ B.①④ C.②③ D.②④
   4．已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列四个命题中不正确的是（ ）
   A．若，则B．若，则
   C．若，则D．若，则
   5.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，
   若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为( )
   A．B．C．D．
   6、命题“存在R， 0”的否定是
   1. 不存在R, >0 B. 存在R, 0
      C. 对任意的 R, 0 D. 对任意的R,<0
      7．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）
      A.B.
      C.D.7
      8、在正方体中，直线与平面ABCD所成的角为，则值为（ ）
      1. B.C.D.
         9.已知直线x＋y＝a与圆＝4交于A，B两点，且 (其中O为坐标原点)，则实数a等于( )
         A．2B．－2
         C．2或－2D.或－
         10.直线y=x＋1被椭圆=4截得的弦的中点坐标是 ( )
         A. (，－) B. (，－) C. (－，) D. (－，)
         11．三棱锥P-A BC的四个顶点都在球D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA =3，AB=BC=2，则球O的表面积为（ ）
         A．13π B．17π C．52π D．68π
         12抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )
         A．B．C．1D．
         第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
         二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
         
         13..圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为
         14.已知双曲线的两条渐近线方程为，且p(2,2)在双曲线上，则双曲线方程为 ．
         
         15. 如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，
         直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为
         、、、四点， 则|AB|+|CD|=
         16.．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体；④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.以上结论其中正确的是_____ __(写出所有正确结论的编号).
         
         三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或
         演算步骤。
         17. (本题10分) 求适合条件的标准方程．
         （1）对称轴为坐标轴，一个顶点为(1,0)，且过点的双曲线；
         （2）对称轴为坐标轴，在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，
         且焦距为6的椭圆。．
         18.（本题12分) 如图，棱柱的底面ABCD为菱形 ，AC交BD于O,
         侧棱AA₁⊥BD,点F为DC₁的中点．
         （Ⅰ）证明：平面BCC₁B₁；
         （Ⅱ）证明：平面DBC₁⊥平面.
         
         
         19.（本题12分) 已知圆，直线过点.
         （1）若直线与圆相切，求直线的方程；
         （2）若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆内切，求圆的方程.
         20.（本题12分) 如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁＝4，
         C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H＝2
         1. 求证：A₁C₁= C₁B₁(2)求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；

(3)求二面角A－A₁C₁－B₁的余弦值；

21.（本题12分)过抛物线C：x²＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．

22．（本题12分)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；

(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

资*源%库

1.D

4 D 5.B 6 D 7A 11b 12d

14.（x﹣2）²+（y+3）²=5

[解析]　(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，

∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，

设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，

由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，

即x2－8x－4＝0，

由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.

∵MA⊥MB，∴·＝0，

∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，

∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.

∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，

∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，

∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.

∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.

理科答案选择： 1-12 DBCDB DACCC BD

13:（x﹣2）²+（y+3）²=514:=115:616:①②③④

17(10分)

（1）(5分)

（2）由已知，，，所以．故所求方程为．(5分)

18(12分)

证明：（Ⅰ）

又

(6分)

(Ⅱ)

又

(6分)

19：（12分）

1. 当斜率存在时，设直线y=k(x-1) kx-y-k=0 (1分)
   由=2 (2分)
   得k= , 直线为3x-4y-3=0 (2分)
   当斜率不存在时，直线为x=1也为切线 （1分）
   (2)设圆心D(a,2-a) (1分)
   由题CD=2+3=5（1分）
   （2分）
   圆D方程为：(2分)
   20：(12分)
   （1）略 （4分）
   （2） 可求得AC=AB=CB所求角为60度，余弦为 （4分）
   （3） 取C1A1中点M,连接AM和B1M，可证都垂直于C1A1,为所求二面角的平面角，由余弦定理可算出，(4分)
   21（12分）
   [解析](1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x²＝4y.（5分）
   
   (2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，
   设点A、B、的坐标分别为(x1，1)、(x2，2)、
   由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，
   即x2－8x－4＝0，
   由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.（3分）
   设M(x0，0)，
   ∵MA⊥MB，∴·＝0，
   ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(1－0)(2－0)＝0，
   ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.
   ∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，
   ∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，
   ∴x²+8x+12=0 x=-2或x=-6
   ∴即抛物线C上存在点M(-2,1)或（-6，9），使得MA⊥MB.（4分）
   22（12分）
   1. 由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝.

所求椭圆方程为＋y²＝1. （4分）

(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由消去x得，3y²＋2y－1＝0，

解得y₁＝－1，y₂＝.

∴S_△POQ＝|OF|·|y₁－y₂|＝|y₁－y₂|＝. （4分）

(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．

由可得，(1＋2k²)x²－4k²x＋2k²－2＝0

∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

＝(x₁－m，y₁)，＝(x₂－m，y₂)，＝(x₂－x₁，y₂－y₁)．其中x₂－x₁≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形

⇔(＋)⊥⇔(＋)·＝0

⇔(x₁＋x₂－2m，y₁＋y₂)·(x₂－x₁，y₂－y₁)＝0

⇔(x₁＋x₂－2m)(x₂－x₁)＋(y₁＋y₂)(y₂－y₁)＝0

⇔(x₁＋x₂－2m)＋k(y₁＋y₂)＝0

⇔＋k²＝0

⇔2k²－(2＋4k²)m＝0⇔m＝(k≠0)．

∴0<m<.（4分）