云南省昆明三中2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

云南昆明三中

2015—2016学年度上学期期末考试

高二数学理试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.命题“对任意，都有”的否定为( )

A．存在，使得B.对任意，都有

C.存在，都有D.不存在，使得

2．阅读右面的程序框图，则输出的S=（ ）

A.14 B.30 C.20 D.55

3．双曲线与直线(m∈R)的公共点的个数为( )．

A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2

4.设满足约束条件，则的最小值是（ ）

1. B.C.D.

5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，，则

6．若直线与圆相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比

为，则的值为（ ）

A．或B．C．或D．

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是（ ）

A.8 B.10 C.D.

8．执行如图所示的程序框图，如果输出，则判断框中应填（ ）

A．B．C．D．

9．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

10. 若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

1. B.

C.D.

11.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）

1. B.

C.D.

12.如图，双曲线的左焦点为F₁，顶点为A₁，A₂，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离D.以上情况都有可能

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13. 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .

14.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

15.如图,过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 　

16．球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为

三、解答题：（共70分）

17．（本小题满分10分）

已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：．

18．（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，。

（1）求A.

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b,c.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若点在曲线上运动，求到曲线的距离的最小值，并求出M点的坐标。

21．（本小题满分12分）

如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)均在抛物线上．

1. 写出该抛物线的方程及其准线方程；
2. 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率．
   22. （本小题满分12分）
   已知椭圆C：，直线过点
   （1）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
   （2）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
   
   答案
   一、1-5ABCBD 6-10ABBDC 11-12BB
   二、13． (1, 0). 14。15。16。
   三、解答题：（共70分）
   17．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．
   （Ⅰ）求数列的通项公式；
   （Ⅱ）求证：．
   【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，详见解析．
   试题解析：（Ⅰ）因为数列是首项，公差的等差数列
   所以由等差数列的前项和公式得，数列前项和为
   由，得
   （Ⅱ）由（Ⅰ）知
   所以
   又，所以
   18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asin C－ccos A.
   （1）求A.
   （2）若a=2，△ABC的面积为，求b,c.
   【解析】(1)由及正弦定理得
   
   由于所以.
   又,故.
   (2)△ABC的面积,故.
   而,故.
   解得.
   19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面．若．
   （Ⅰ）求证：平面；
   （Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；
   （Ⅲ）求二面角的余弦值．
   【解析】
   （Ⅰ）因为，所以．
   又因为侧面底面，且侧面底面，
   所以底面．
   而底面，
   所以．
   在底面中，因为，，
   所以， 所以．
   又因为， 所以平面．
   （Ⅱ）在上存在中点，使得平面，
   证明如下：设的中点是，
   连结，，，
   则，且．
   由已知，
   所以．又，
   所以，且，
   所以四边形为平行四边形，所以．
   因为平面，平面，
   所以平面．
   （Ⅲ）设为中点，连结，
   则．
   又因为平面平面，
   所以平面．
   过作于，
   连结，由三垂线定理可知．
   所以是二面角的平面角．
   设，则,．
   在中，，所以．
   所以，．
   即二面角的余弦值为．
   20．已知曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．
   （1）求曲线的普通方程；
   （2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
   【答案】（1）；（2）．
   试题分析：（1）由得，代入公式可得普通方程；（2）曲线是直线，其直角坐标方程为，点的坐标可表示为，由点到直线距离公式可得到直线的距离为，显然当时取得最小值．
   试题解析：（1）由得，代入得
   （2）曲线的普通方程是：
   设点，由点到直线的距离公式得：
   其中
   时，，此时
   21．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．
   
   1. 写出该抛物线的方程及其准线方程；
   2. 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁＋y₂的值及直线AB的斜率．

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y²＝2px(p＞0)．

∵点P(1，2)在抛物线上，∴2²＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y²＝4x，准线方程是x＝－1.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则

k_PA＝(x₁≠1)，k_PB＝(x₂≠1)，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k_PA＝－k_PB.

由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上，得y＝4x₁，①

y＝4x₂，②

∴＝－，

∴y₁＋2＝－(y₂＋2)．

∴y₁＋y₂＝－4.

由①－②得，y－y＝4(x₁－x₂)，

∴k_AB＝＝＝－1.

22．已知椭圆C：
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．

22.（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为

所以直线l的方程为

（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．设直线l为x=ty-4，A（x1，y1），B（x2，y2），

AB中点为

AB的中垂线为：

点P为P到直线l的距离d=