云南省昆明三中2015-2016学年高二上学期期末考试数学（文）试卷

云南昆明三中

2015—2016学年度上学期期末考试

高二数学文试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，集合，则（ ）

1. B.C.D.

2．在等比数列中,>0，且+2+=25，那么+=（ ）

A 5 B 10 C 15 D 20

3.设，向量且，则

1. B.C.D.5
   4.已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为( )
   1. B.C.D.

5.设满足约束条件，则的最小值是（ ）

A.B.C.D.

6.函数的一个单调递增区间是（ ）

A.B.C.D.

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是（ ）

A.8 B.10 C.D.

8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

A．63.6万元B．72.0万元

C．67.7万元D．65.5万元

9.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于

A.B.C. D .

10.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若

，则球的半径为（ ）

11. 若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）

A.B.

C.D.

12.设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则

14．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130内的学生中选取的人数应为 = ．

15.函数y＝f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．

16.如图,过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 　

三、解答题：（共70分）

17．（本小题满分10分）

已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：．

18．（本小题满分12分）

已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，

，底面．

（1）证明：；

（2）求到平面的距离．

20.（本小题满分12分）

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问，对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；

(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率.

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ax³＋bx(x∈R，)．

(1)若函数f(x)的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的解析式；

（2）若，求函数的单调递减区间；

(3)若a＝1，且函数f(x)在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．

22．（本小题满分12分）

如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁＋y₂的值及直线AB的斜率．

答案

一、1-5AABCB 6-10ABDBC 11-12CA

二、．13． 14．10 15。16。

三、解答题：（共70分）

17．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：．

试题解析：（Ⅰ）因为数列是首项，公差的等差数列

所以由等差数列的前项和公式得，数列前项和为

由，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以

又，所以

18．（本小题满分12分）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．

试题解析：（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．

又因离心率为，所以

所以椭圆方程为：

依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．

（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,

所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，

故所求中点坐标为．

考点：求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，

，底面．

（1）证明：；

（2）求到平面的距离．

【解析】

试题解析：（1）证明：∵底面，底面,∴

在中，

， ∴

又， ∴

又， ∴平面

又平面， ∴

（2）解：

20.（本小题满分12分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问，对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率.

(1)由题意得＝,所以n＝100.

(2)设所选取的人中，有m人20岁以下，则＝，解得m＝2.也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)共10个．其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A1，A2)，从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为.

21．已知函数f(x)＝ax³＋bx(x∈R，)．

(1)若函数f(x)的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的解析式；

（2）若，求函数的单调递减区间；

(3)若a＝1，且函数f(x)在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．

21． [解析]　(1)∵f(x)＝ax³＋bx(x∈R)，

∴f′(x)＝3ax²＋b.

由题意得f′(3)＝27a＋b＝24，

且f′(1)＝3a＋b＝0，

解得a＝1，b＝－3.

（2）若，函数f(x)的减区间为(－1,1)．

若，函数f(x)的减区间为．

(2)当a＝1时，f(x)＝x³＋bx(x∈R)，

又∵f(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴f′(x)＝3x²＋b≤0在区间[－1,1]上恒成立，

即b≤－3x²在区间[－1,1]上恒成立，

∴b≤(－3x²)_min＝－3

22．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁＋y₂的值及直线AB的斜率．

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y²＝2px(p＞0)．

∵点P(1，2)在抛物线上，∴2²＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y²＝4x，准线方程是x＝－1.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则

k_PA＝(x₁≠1)，k_PB＝(x₂≠1)，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k_PA＝－k_PB.

由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上，得y＝4x₁，①

y＝4x₂，②

∴＝－，

∴y₁＋2＝－(y₂＋2)．

∴y₁＋y₂＝－4.

由①－②得，y－y＝4(x₁－x₂)，

∴k_AB＝＝＝－1.