云南省玉溪一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

玉溪一中高2016届高二下学期期中考试试题

数学（理科）

命题： 吴志华

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 已知集合，则实数的取值范围是（ ）
   1. B.C.D.
2. 设复数z满足，则（ ）
   A．B．C．D．
3. 已知，，，则（ ）

1. B.C.D.
   4.是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）
   A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
   C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
   5. 在中，，，，
   则的面积为，（ ）
   A．B．C．D．
   6. 执行如右图所示的程序框图，若输出，则框图中①处
   可以填入（ ）
   1. B.
      C.D.
      7. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
      A.⊥，⊥，且，则⊥.
      B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则.
      C．若，，则.
      D.若，，则.
      8. 已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸
      （单位：cm），可得这个几何体的体积是（　 　）
      　 A．B．
      C． 2cm³ D ．4cm³
      9. 已知函数有两个不同零点，且有一个零点恰为的极大值点，则的值为（ ）
      A. 0 B. 2 C. D.或2
      10. 已知双曲线(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
      A．B．
      C．D．
      11. 已知函数，则（ ）
      A．B．C．D．
      12. 已知其中，如果存在实数使，则的值( )
      A. 必为负数 B. 必为正数 C. 可能为零 D. 可正可负
      第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）
      二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
      13. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
      甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．
      事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是　 　．
      14. 从1、2、3、4、5、6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .
      15. 在平行四边形ABCD中,AD = 1, ,E为CD的中点. 若, 则AB的长为______.
      16. 数列的通项公式，其前项和为，则= .
      三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
      17. （本小题满分10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
      ⑴ 以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
      ⑵ 已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
      18. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.
      （1）求与； （2）设数列满足，求的前项和.
      19. （本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.
      (1)求的值; (2)讨论在区间上的单调性.
      20. （本小题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=a（）．
      （1）求证：对任意的，都有;
      （2）若二面角的大小为，求实数的值。
      21. （本小题满分12分）已知F₁、F₂分别为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点,且离心率为，点椭圆C上。
      1. 求椭圆C的方程；
      2. 是否存在斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线与的倾斜角互补，且直线恒过定点? 若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由。

22. （本小题满分12分）设函数，曲线处的切线斜率为0.

（1）求b;

（2）若存在使得，求a的取值范围。

玉溪一中高2016届高二下学期期中考试试题

数学（理科）答案

1. 选择题
   AAABC BDBCC DA
2. 填空题

13. 甲 14. 15. 16. 3019

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 解：（1）圆的参数方程为（为参数）

所以普通方程为.2分

圆的极坐标方程：.5分

（2）点到直线：的距离为7分

的面积

所以面积的最大值为10分

18.解:（1）设的公差为.

因为所以解得或（舍），.故，.

（2）由（1）可知，，所以.

故

19.解: （Ⅰ).所以(Ⅱ)所以

20.解（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…（3分）

∴对任意λ∈（0，1]都成立，即AC⊥BE恒成立．（5分）

（II）解：设平面ABE的一个法向量为，

∵，

∴，

取z₁=1，则x₁=λ，．…（7分）

设平面BCE的一个法向量为，

∵n=3n+1，∴，取z₂=1，则y₂=λ，，…（9分）

∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，

∴，

∴λ=1为所求．…（12分）

21. 解：(1) 由已知得：，，结合，可解得：，

由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补,

得

化简,得

整理得直线MN的方程为,因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)

22.解：（I），由题设知,解得b1.

(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知,，

1. 若，则，故当x(1,)时,f'(x) 0 , f(x)在(1,)上单调递增.
   所以,存在1, 使得 的充要条件为，即
   所以1 a1;
2. 若，则，故当x(1,)时,f'(x)<0 , x()时,,f(x)在(1,)上单调递减，f(x)在单调递增.

所以,存在1, 使得的充要条件为，而

，所以不合题意.

(ⅲ) 若，则。

综上，a的取值范围为：