内蒙古赤峰二中2017-2018学年高二上学期升学考试（一模）数学（理）试卷

赤峰二中2016级高二上学期第一次模拟考试数学试题（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知和均为非零实数，且，则下面式子正确的是（ ）

1. B.C.D.

2.已知等比数列中，，，则前9项之和等于（ ）

A.B.C.D.

3.在空间直角坐标系中，已知点，若过点作平面的垂线，则垂足的坐标为(　　A.B.C.D.

4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则此三棱锥的外接球的表面积为 (　　)A．B．C．D．

5.在中，内角的对边分别为.若，且，则（ ）A.B.C.D.

6.设的内角的对边分别为.若,则这样的三角形有（ ）A.0个B.1个C.2个D.至多1个

7. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为

A．1B．5C．D．

8.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A.或B.或C.或D.或

9.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为(　　)

1. B.C.D.
   10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最小值为（ ）A.B.C.D.
   11.等差数列中，，若数列的前项和为，则( )
   A.B.C.D.
   12.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
   1. B.C. 4D.

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13. 满足不等式组的点中，使目标函数取得最大值的点的坐标是____

14.在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于___________

15.若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则

16如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是

三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）设的内角，，，所对的边长分别为，，,，，且．

（1）求角的大小；（2）若，且边上的中线的长为,求边的值．

18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系内，已知，，；

（1）当时，求直线的倾斜角的取值范围；

（2）当时，求的边上的高所在直线方程．

19.（本小题满分12分）已知数列满足：，。数列的前n项和为,且。

⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n项和为

20.（本小题满分12分）如图所示，在四面体中，，，点分别是，的中点．

求证：(1)直线∥平面；(2)平面⊥平面.

21.（本小题满分12分）已知圆M：x²＋(y－4)²＝1，直线l：2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求P点的坐标；

(2)若点P的坐标为(1，2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝时，求直线CD的方程；

(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．

22.（本小题满分12分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.

(1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；

(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

赤峰二中高二年级数学试题（理科）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. C.2..B.3.B.4.A．5.A. 6.C.2个 7.D．8.D..或9.C.10.B.11.C. 12.C. 4

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13.(0，5) 14.15.16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【答案】（1）；（2）．

18.【答案】（1）又，则

，又，

（2）AH为高，故

又过点即

19.【答案】

（1）由已知得数列为等差数列，首项为1，公差为1.所以其通项公式为

因为，所以，所以数列为等比数列，

又所以

（2）由已知得：，

所以

所以

所以

20.【答案】

(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD.

∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.

(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.

又∵EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.

21.【答案】

解：(1)由条件可知|PM|＝2，设P点坐标为(a，2a)，则|PM|＝＝2，解得a＝2或a＝，所以P(2，4)或P（，）.

(2)由条件可知圆心到直线CD的距离d＝＝，设直线CD的方程为y－2＝k(x－1)，则由点到直线的距离公式得＝，解得k＝－7或k＝－1，

所以直线CD的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－9＝0.

(3)证明：设P(a，2a)，过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x²＋y²－ax－4y－2ay＋8a＝0，与x²＋(y－4)²－1＝0相减得公共弦的方程为(4－2a)y－ax＋8a－15＝0，即(－x－2y＋8)a＋4y－15＝0，

令解得所以两圆的公共弦过定点.

22.【答案】

解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，

∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.

(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴D′F⊥平面ABCE，∴V_D′­ABCE＝S_{四边形ABCE}·D′F＝××(1＋2)×1×＝.

(3)如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ，∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，

∴在△EBD′中，＝，∵在梯形ABCE中，＝＝，∴＝＝，即EP＝ED′，

∴在棱D′E上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.