吉林省东北师大学附中净月校区2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文)

2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学文）学科试卷

说明：1、此试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

1. 满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题）

1．直角坐标系中，点的极坐标可以是

A.B.C.D.

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）

A．B．C．D．

3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为

A．B．C．D．

4．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．若为假命题，则均为假命题

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

5．极坐标方程所表示的曲线是（）

A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一条双曲线

6.将椭圆按:，变换后得到圆,则(　　).

A.λ=3, μ=4　 B.λ=3,μ=2 C.λ=1, μ=D.λ=1,μ=

7．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）

A．（2，） B．（2，）C．（2，） D．（1，2）

8．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）

A．B．C．D．

9．直线与椭圆的位置关系为（ ）

A．相交 B．相切 C．相离D．不确定

10．已知，，，，则下列命题为真命题的是（）

A．B．C．D．

11．椭圆两个焦点分别是，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

12．已知是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）

A．B． C．2 D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．命题“，”的否定是．

14．“”是“方程表示双曲线”的一个条件.

15．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是．

16. 已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值为__________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．

（I）求直线的直角坐标方程；

（II）求点到曲线上的点的距离的最小值．

18．（本小题满分12分）

设:；:.若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围.

19．（本小题满分12分）

已知中心在原点的椭圆的左焦点，右顶点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）斜率为的直线与椭圆交于两点，求弦长的最大值及此时的直线方程.

20．（本小题满分12分）

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于、两点. （）

（Ⅰ）求、两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线与直线（为参数）分别相交于两点，求线段的长度.

21．（本小题满分12分）

已知曲线上任意一点M满足, 其中F：(F：(

（I）求曲线C的方程；

（II）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2015---2016学年（高二）年级上学期

期中考试（数学文）学科答案

第I卷（选择题）

1．【答案】B

【解析】略

2．【答案】C

【解析】

试题分析：准线方程为，抛物线为

考点：抛物线方程与性质

3．【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意可知，结合的条件，可知，故选C．

考点：椭圆和双曲线的性质．

4．【答案】D

【解析】

试题分析：对于A 命题“若x²＝1，则x＝1”的否命题为：“若x²≠1，则x≠1”，故不正确．

对于B 由“x＝－1”“x²－5x－6＝0”但“x²－5x－6＝0”不能推出“x＝－1”，故“x＝－1”是“x²－5x－6＝0”的充分不必要条件，故不正确．

对于C 若为假命题，则至少有一个为假命题．

对于D 命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为“若sin x＝sin y，则x＝y”显然是真命题，故正确．

故选：D．

5．【答案】B

【解析】

试题分析：由已知得，故，故表示一条抛物线．

考点：圆的极坐标方程．

6.【答案】D

【解析】因为，所以，将其代入，得；

因为与相同，所以，即.

考点：曲线方程的变换.

7．【答案】C

【解析】

试题分析：由题根据抛物线定义不难得到所求点A的横坐标，进而得到点A的坐标即可；

由题根据抛物线定义可得A点横坐标为2，所以纵坐标为，故选C．

考点：抛物线的性质

8．【答案】A

【解析】

试题分析：而；，而-;

,且；因此选A．

考点：充要关系

9．【答案】A

【解析】

试题分析：直线过定点，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交

考点：直线与椭圆的位置关系

10．【答案】C

【解析】

试题分析：因为恒成立，所以命题为真命题，因为恒成立，所以为假命题，根据复合命题的真值表，可知为真命题，故选C．

考点：复合命题真值表．

11．【答案】C

【解析】

试题分析：椭圆两个焦点分别是，设，则

，，因为，

代入可得，而，的取值范围是，选C；

考点：椭圆的几何性质

12．【答案】A

【解析】

试题分析：由题意过且垂直于的直线方程为，它与的交点坐标为，所以点的坐标为，因为点在双曲线上，，可得，所以选A．

考点：双曲线的性质的应用．

第II卷（非选择题）

13．【答案】，

【解析】

试题分析：由全称命题的否定是特称命题，可得“，”的否定是“，”．

考点：全称命题的否定．

14．【答案】充分不必要条件

15．【答案】

【解析】

试题分析：∵命题，，当命题p是假命题时，命题是真命题；即，∴；∴实数的取值范围是．

考点：特称命题．

16.【答案】

【解析】

试题分析：由抛物线的定义得.

考点：抛物线.

17．【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将点极坐标，化为直角坐标，然后在直线坐标系中求直线的方程；（2）由曲线的参数方程化为普通方程为,再数形结合考虑点到曲线上的点的距离的最小值.

试题解析：(1)∵点的极坐标为,∴,点的直角坐标为

(4，4),∴直线的直角坐标方程；

(2) 由曲线C的参数方程(为参数)，化成普通方程为：，表示以为圆心，半径为的圆，由于点在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为．

考点：1、极坐标和直角坐标的转化；2、参数方程和普通方程的互化.

18．【答案】.

【解析】

试题分析：由得, , 故，由，若是的必要而不充分条件, 即是的必要而不充分条件, 即，列出不等式，即可求出结果.

试题解析：解:由得, , 故3分

由6分

若是的必要而不充分条件,

的必要而不充分条件, 即9分

11分

故所求的取值范围是12分.

考点：充分必要条件的判断.

19．【答案】（1）；（2）直线方程为时，弦长的最大值为.

【解析】

试题解析：（1）以题意可知：，∴

∵焦点在轴上∴椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，由可得

∵与椭圆交于两点∴△=即

设，则

∴弦长=

∵∴，

∴当即的直线方程为时，弦长的最大值为.

考点：1.椭圆方程的几何性质；2.直线与椭圆的综合问题.

20．【答案】（Ⅰ）：或；（Ⅱ）.

【解析】

试题解析：（Ⅰ）由得：，即3分

所以、两点的极坐标为：或5分

（Ⅱ）由曲线的极坐标方程得其普通方程为6分

将直线代入，整理得8分

所以

考点：1、点的极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程化成普通方程．

21．【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

【解析】

试题解析：（1）由题意知，焦点在轴上

故所求椭圆C的方程为．

（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点，，

将直线的方程代入，

并整理，得．（*）

则，．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以，即．

又，

于是，解得，

经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．

所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

22．【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知：，，以及=，即可求出椭圆的标准方程为，由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，即可求出双曲线的标准方程；（Ⅱ）设P（），，则=，，因为点P在双曲线上，所以，化简即可得到的值；（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得，所以，根据弦长公式

，带入值即可求出和，进而可求为定值.

试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知：，2a+2c=4（+1）所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此双曲线的标准方程为

（Ⅱ）设P（），

则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，即

（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得

所以，所以

同理可得.

则，

又，

所以.

故恒成立.

考点：1.椭圆与双曲线的标准方程；2.直线与