吉林省东北师大学附中净月校区2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理)

2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学理）学科试卷

说明：1、此试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

1. 满分150分，考试时间120分钟。
   第I卷（选择题）

   一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项)

   1．下列所给出的赋值语句中正确的是（）
   A.B.C.D.
   2．若向量，向量，且满足向量//，则等于（）
   A.B.C.D.
   3．已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
   A．B．C．D．
   4. 下列有关命题的说法正确的是( )
   A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
   B．“”是“”的必要不充分条件
   C．命题“，使得”的否定是：“，均有”
   D．命题“若，则”的逆否命题为真命题
   5．已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为 ( )
   A．B．C．与相交不垂直D．
   6．已知，，，，则下列命题为真命题的是（）
   A．B．C．D．
   7．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）
   A．（2，） B．（2，）C．（2，） D．（1，2）
   8．直线与椭圆的位置关系为（）
   A．相交 B．相切C．相离D．不确定
   9．设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．
   A．，，B．，，
   C．，，D．，，
   10．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中
   应填入关于的判断条件是（）
   A．B．
   C．D．
   11．如图，空间四边形中，，，，点在
   上，且，点为中点，则等于（）
   A．B．
   C．D．
   12．已知是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）
   A．B．C．2 D．
   第II卷（非选择题）
   二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
   13．“”是“方程表示双曲线”的一个条件.
   14.执行如图所示的程序框图，其输出的结果是.
   15．椭圆两个焦点分别是，点是椭圆上任意一点，则
   的取值范围是.
   16.已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的
   坐标是，则的最小值为__________．
   三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
   17．（本小题满分10分）
   设:；:.若是的必要而不充分条件,求实数的取值范围.
   
   18．（本小题满分12分）
   如图，在直三棱柱中，，，
   ，点是的中点．
   （I）求异面直线与所成角的余弦值；
   （II）求平面与平面所成二面角的正弦值．
   19．（本小题满分12分）
   已知曲线上任意一点M满足, 其中F(F(
   （I）求曲线C的方程；
   （II）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
   20．（本小题满分12分）
   如图，在四棱锥中，底面为直角梯形,∥，，⊥底面，且，、分别为、的中点．
   （I）求证：；
   （II）求与平面所成的角；
   （III）点在线段上，试确定点的位置，使二面角
   为．
   21．（本小题满分12分）
   已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．
   （I）求椭圆的标准方程；
   （II）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．
   22．（本小题满分12分）
   如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
   （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
   （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
   （Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若
   不是，请说明理由.
   

   ---

   
   2015---2016学年（高二）年级上学期
   期中考试（数学理）学科答案
   命题人：赵乾
   说明：1、此试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
2. 满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题）

1．【答案】C

【解析】

试题分析：赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句，根据特点只有C符合

考点：赋值语句

2．【答案】D

【解析】

试题分析：由题意可得，，从而可得，故答案为D.

考点：空间向量共线的条件.

3．【答案】B

【解析】

试题分析：由于抛物线的焦点为，又因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，所以双曲线的半焦距；从而，

所以双曲线的渐近线方程为；

故选B．

考点：双曲线与抛物线的简单几何性质．

4. 【答案】D

【解析】

试题分析：对于A 命题“若x²＝1，则x＝1”的否命题为：“若x²≠1，则x≠1”，故不正确．

对于B 由“x＝－1”“x²－5x－6＝0”但“x²－5x－6＝0”不能推出“x＝－1”，故“x＝－1”是“x²－5x－6＝0”的充分不必要条件，故不正确．

对于C 命题“∃x∈R，使得x²＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x²＋x＋10”，故不正确．

对于D 命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为“若sin x＝sin y，则x＝y”显然是真命题，故正确．

故选：D．

考点：1．命题的四种形式与真假的判断；2特称命题的否定．

5．【答案】D

【解析】

试题分析：，而点不在内，故

考点：直线与平面的位置关系

6．【答案】C

【解析】

试题分析：因为恒成立，所以命题为真命题，因为恒成立，所以为假命题，根据复合命题的真值表，可知为真命题，故选C．

考点：复合命题真值表．

7．【答案】C

【解析】

试题分析：由题根据抛物线定义不难得到所求点A的横坐标，进而得到点A的坐标即可；

由题根据抛物线定义可得A点横坐标为2，所以纵坐标为，故选C．

考点：抛物线的性质

8．【答案】A

【解析】

试题分析：直线过定点，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交

考点：直线与椭圆的位置关系

9．【答案】D

【解析】

试题分析：对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；

对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确；

对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．

考点：线面垂直的判定与性质、充分条件.

10．【答案】C

【解析】

试题分析：由程序框图知,要使此时程序结束需有.

考点：流程图的应用。

11．【答案】B

【解析】

试题分析：

由题意；又，，，．故选B．

考点：平面向量的基本定理．

12．【答案】A

【解析】

试题分析：由题意过且垂直于的直线方程为，它与的交点坐标为，所以点的坐标为，因为点在双曲线上，，可得，所以选A．

考点：双曲线的性质的应用．

第II卷（非选择题）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13．【答案】充分不必要条件

【解析】

试题分析：与同号，所以，解得或．

考点：双曲线的标准方程

14.【答案】

【解析】

试题分析：第一圈，y=4，x=y=4，y=1,否；

第二圈，x=1,y=,否；

第三圈，x=,y=,s是，输出y=

考点：本题主要考查程序框图功能识别。

点评：简单题，算法问题已成为高考必考内容，一般难度不大，像这种程序框图的填充问题，通过逐步运行结果，计算即可。

15．【答案】

【解析】

试题分析：椭圆两个焦点分别是，设，则

，，因为，

代入可得，而，的取值范围是

考点：椭圆的几何性质

16.【答案】

【解析】

试题分析：由抛物线的定义得.

考点：抛物线.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．【答案】.

【解析】

试题解析：解:由得, , 故3分

由6分

若是的必要而不充分条件,

的必要而不充分条件, 即9分

11分

故所求的取值范围是12分.

考点：充分必要条件的判断.

18．【答案】（1）（2）

【解析】

试题解析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，

∵，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

（2）设平面的法向量为，因为，，

∴，即，取，得，，∴，

取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，

由，得，

故平面与平面所成二面角的正弦值．

考点：1．空间向量；2．异面直线所成角；3．二面角的计算．

19．【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

【解析】

试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，

解得，所以，

故所求椭圆C的方程为．

（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点，，

将直线的方程代入，

并整理，得．（*）

则，．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以，即．

又，

于是，解得，

经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．

所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

20．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

试题解析：（1）∵、分别为、的中点，∥

∴∥，即四点共面

∵N是PB的中点，PA=AB, ∴AN⊥PB．

∵AD⊥面PAB, ∴AD⊥PB．

又∵

∴PB⊥平面ADMN．

（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，

∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．

在中,

∴BD与平面ADMN所成的角是．

（3）作于点，连结

∵⊥底面∴

∴∴

∴就是二面角的平面角

若，则

由可解得

∴当时，二面角的平面角为45°

考点：1．线面垂直的判定；2．线面所成角；3．二面角

21．【答案】（1），（2）

【解析】

试题解析：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为

（2）设的方程为，点

由消去得．

令，解得，由韦达定理得．

则由弦长公式得．

又点P到直线的距离，

∴，

当且仅当，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．

考点：待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．

22．【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】

试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知：，2a+2c=4（+1）所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此双曲线的标准方程为

（Ⅱ）设P（），

则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，即

（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得

所以，所以

同理可得.

则，

又，

所以.

故恒成立.

考点：1.椭圆与双曲线的标准方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系.