吉林省东北师范大学附中净月校区2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷（文）

2015---2016学年（ 高二）年级上学期期末考试（文科）数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题，则是

A．B．C．D．

2．椭圆的长轴长为

A．B．C．D．

3．已知点的直角坐标为，则点的极坐标是

A．B．C．D．

4．下列说法正确的是

A．合情推理和演绎推理的结果都是正确的

B．若事件是互斥事件，则是对立事件

C．若事件是对立事件，则是互斥事件

D．“复数是纯虚数”是“”的必要不充分条件

5.为了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制 成样本频率分布直方图如右图所示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是

A．，B．，

C．，D．，

6．将曲线变为的伸缩变换是

A．B．C．D．

7． 设复数，则

A．B．C．D．

8．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示如右图所示，，分别表示甲、乙选手分数的标准差，则与的关系是

	0	1	3	4
	2.2	4.3	4.8	6.7

A．B．C．D．不确定

9．已知某产品的广告费用（万元）与销售额（万元）所得的数据如右表：经分析，与有较强的线性相关性，且，则等于

A．B．C．D．

10．已知，若向区域内随机投一点，则点落在区域内的概率为

A．B．C．D．

11．过点作直线，使它与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线有

A．条B．条C．条 D．条

12．如图，分别是椭圆的左、右焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．观察下列等式,,,,

照此规律，第6个等式可为 .

i=1

s=0

WHILE i<=4

s= 2* s +1

i=i+1

WEND

PRINT s

END

14．某单位有技工18人，技术员12人，工程师6人，现从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，则都不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时,需在总体中剔除1人，由此推断样本容量n为_______.

15．阅读右边的程序，输出结果为_______.

16．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知命题：在区间上是减函数，命题：不等式的解集是,若命题“”为真，命题“”为假,求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴正半轴重合．直线过点，倾斜角为，曲线的极坐标方程为．直线与曲线相交于，两点.

（Ⅰ）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求线段的长和点到两点的距离之积.

19．（本小题满分12分）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性240人，其中有40人患色盲，调查的260名女性中有10人患色盲．

（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；

（Ⅱ）能否有的把握认为“性别与患色盲有关系”？

附1：随机变量

附2：临界值参考表：

	0.10	0.05	0.025	0.10	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

20．（本小题满分12分）由507名画师集体创作的999 幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示．

（Ⅰ）求，的值；并补全频率分布直方图；

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；

（III）在抽出的[20,25)岁的5名画师中有3名男画师,2名女画师.在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？

---

分组(岁)	频数	频率
[20,25)	5	0.050
[25,30)		0.200
[30,35)	35
[35,40)	30	0.300
[40,45)	10	0.100
合计	100	1.00

21．（本小题满分12分）设焦点在轴上的双曲线渐近线为,且焦距为4，已知点.

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线交双曲线于两点，点为线段MN的中点，求直线的方程.

22．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，若直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.

（i）求点的轨迹的方程；

（ii）过点作两条相互垂直的直线交曲线于、、、，求四边形面积的最小值．

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2015---2016学年（高二）年级上学期

期末考试（文科）数学试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-5: BDBCC 6-10: DBCAD 11-12 CC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．

14． 6 15． 15 16．6

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

【答案】若命题为真，即在区间上是减函数，

只需对称轴，即3分

若命题为真，即不等式的解集是,

只需，即6分

因为 “”为真，命题“”为假

所以，一真一假，所以10分

18．（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）：:6分

（Ⅱ）把直线的参数方程带到曲线的普通方程中的

． 9分

=4 12分

19．（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）

	患色盲	不患色盲	总计
男	40	200	240
女	10	250	260
总计	50	450	500

5分

（Ⅱ）假设H₀：“性别与患色盲没有关系”，根据（Ⅰ）中2×2列联表中数据，可求得

又P(K²≥10.828)＝0.001，即H₀成立的概率不超过0.001， 12分

故有的把握认为“性别与患色盲有关系”.

20．（本小题满分12分）

分 组 （单位：岁）	频数	频 率
	5	0．050
	①	0．200
	35	②
	30	0．300
	10	0．100
合 计	100	1．00

解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.350；补全频率分布直方图如图所示； 3分

（Ⅱ）507名画师中年龄的平均数的估计值为22.50.05+27.50.2+32.50.35+37.50.3+42.50.1=33.5岁；

7分

（III）三名男画师记为，两名女画师记为1,2

五人中任选两人的所有基本事件如下：（a,b）,(a,c)(a,1)(a,2)（b，c）(b,1)(b,2)(c,1)(c,2)(1,2)

共10个，其中一男一女的是(a,1)(a,2)(b,1)(b,2) (c,1)(c,2)6个基本事件.所以

12分

21．（本小题满分12分）

【答案】

解：（1）5分

（2）设直线：

12分

22（本小题满分12分）

【答案】解：

（Ⅰ）∵，∴＝＝＝，∴.

∵直线与圆相切，∴，，∴.

∴椭圆的方程是. 3分

（2）（i）∵

∴动点到定直线的距离等于它到定点的距离，

∴动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．

∴点的轨迹的方程为：. 7分

（ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零，（1分）

令：，

则：

由韦达定理知：

由抛物线定义知：

而：

同样可得：

则：

（当且仅当时取“”号）

所以四边形面积的最小值是：8 12分