安徽省黄山市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文）试卷

黄山市2016－2017学年度第二学期期末质量检测

高二（文科）数学试题

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1．若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（ ）

A．2

B．－1

C．5

D．

2．下列命题正确的是（ ）

A．命题“，使得x²－1＜0”的否定是：，均有x²－1＜0．

B．命题“若x＝3，则x²－2x－3＝0”的否命题是：若x≠3，则x²－2x－3≠0．

C．“”是“”的必要而不充分条件．

D．命题“cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题是真命题．

3．下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；

②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

③线性回归方程必经过点；

④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

4．抛物线的准线方程是（ ）

A．

B．

C．x＝2

D．y＝2

5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除，或b不能被5整除

6．过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）

A．

B．2

C．

D．

7．当复数为纯虚数时，则实数m的值为（ ）

A．m＝2

B．m＝－3

C．m＝2或m＝－3

D．m＝1或m＝－3

8．关于函数极值的判断，正确的是（ ）

A．x＝1时，y_极大值＝0

B．x＝e时，y_极大值＝

C．x＝e时，y_极小值＝

D．时，y_极大值＝

9．双曲线离心率为，其中一个焦点与抛物线y²＝12x的焦点重合，则mn的值为（ ）

A．

B．

C．18

D．27

10．如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是（ ）

A．圆

B．抛物线的一部分

C．椭圆

D．双曲线的一支

11．设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（ ）

A．

B．2

C．1

D．条件不够，不能确定

12．已知函数f（x）＝x³＋bx²＋cx＋d的图象如图，则函数的单调递减区间是（ ）

A．（－∞，－2）

B．（－∞，1）

C．（－2，4）

D．（1，＋∞）

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题

13．函数y＝x³＋x的递增区间是________．

14．已知x，y取值如表，画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，则m的值为________．

x	0	1	3	5	6
y	1	2m	3－m	3.8	9.2

15．若；q：x＝－3，则命题p是命题q的________条件 （填“充分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”）．

16．设椭圆的两个焦点F₁，F₂都在x轴上，P是第一象限内该椭圆上的一点，且，则正数m的值为________．

三、解答题

17．解答下面两个问题：

（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；

（Ⅱ）复数z₁＝2a＋1＋（1＋a²）i，z₂＝1－a＋（3－a）i，a∈R，若是实数，求a的值．

18．随着网络的发展，人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上网流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐．为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户，按年龄分组进行访谈，统计结果如右表．

组 号	年龄	访谈 人数	愿意 使用
1	[18，28）	4	4
2	[28，38）	9	9
3	[38，48）	16	15
4	[48，58）	15	12
5	[58，68）	6	2

（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？

（Ⅱ）若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．

（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？

	年龄不低于48岁的人数	年龄低于48岁的人数	合计
愿意使用的人数
不愿意使用的人数
合计

参考公式：，其中：n＝a＋b＋c＋d．

P（k2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅰ）某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写结果，不必写过程）；

（Ⅱ）设集合，，命题p：x∈A；命题q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．

20．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）；

（2）；

（Ⅱ）过原点O作函数f（x）＝lnx的切线，求该切线方程．

21．设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．

（Ⅰ）求证：a＝2b；

（Ⅱ）PQ是圆C：（x－2）²＋（y－1）²＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

22．已知函数，．

（Ⅰ）当a＝2时，求（x）在x∈[1，e²]时的最值（参考数据：e²≈7.4）；

（Ⅱ）若，有f（x）＋g（x）≤0恒成立，求实数a的值；

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黄山市2016－2017学年度第二学期期末质量检测

高二（文科）数学试题参考答案

一、选择题

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	D	B	D	D	B	A	B	D	C	C	C	A

二、填空题

13．（－∞，＋∞）

14．3

15．必要而不充分

16．4

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为，所以．

，

所以原式＝．

（Ⅱ）

因为是实数，所以a²＋a－2＝0，解得a＝1，或a＝－2，

故a＝1，或a＝－2．

18．解：（Ⅰ）因为，，，所以第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，各组分别为3人，5人，4人．

（Ⅱ）第5组的6人中，不愿意选择此款“流量包”套餐的4人分别记作：A、B、C、D，愿意选择此款“流量包”套餐2人分别记作x、y．则从6人中选取2人有：AB，AC，AD，Ax，Ay，BC，BD，Bx，By，CD，Cx，Cy，Dx，Dy，xy共15个结果，其中至少有1人愿意选择此款“流量包”：Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，xy

共9个结果，所以这2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．

（Ⅲ）2×2列联表：

	年龄不低于48岁的人数	年龄低于48岁的人数	合计
愿意使用的人数	14	28	42
不愿意使用的人数	7	1	8
合计	21	29	50

∴，

∴在犯错误不超过1％的前提下可以认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关．

19．解：（Ⅰ）观察茎叶图可得；

（Ⅱ）由题可知，

由于p是q的必要条件，所以，

所以，解得，综上所述：．

20．解．（Ⅰ），∴；

（2）；

（Ⅱ）设切点为T（x₀，lnx₀），∵，，解x₀＝e，

所以切点为T（e，1），故切线方程为．

21．解：（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），，所以，

∴，解得a＝2b，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x²＋4y²＝4b²（1）

依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．

由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，

代入（1）得：

（1＋4k²）x²－8k（2k－1）x＋4（2k－1）²－4b²＝0

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，，

由得，解得．

从而x₁x₂＝8－2b²．

于是

解得b²＝4，a²＝16，∴椭圆E的方程为．

22．解．（Ⅰ）由于，∴．

因此，函数f（x）在[1，2]为增函数，在[2，e²]为减函数．

所以f（x）_max＝f（2）＝2ln2．

．

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）＋g（x）＝alnx－x＋1，则，

（1）当a≤0时，h（x）在（0，＋∞）上为减函数，而h（1）＝0，

∴h（x）≤0在区间x∈（0，＋∞）上不可能恒成立，因此a≤0不满足条件．

（2）当a＞0时，h（x）在（0，a）上递增，在（a，＋∞）上递减，所以

h（x）_max＝h（a）＝alna－a＋1．

由于h（x）≤0在x∈（0，＋∞）恒成立，则h（x）_max≤0．即alna－a＋1≤0．

令g（a）＝alna－a＋1，（a＞0），则g'（a）＝lna，∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，∴g（a）_min＝g（1）＝0，故a＝1．