山西省忻州一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学理试卷

2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）

命题人：侯毅

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2^x-1},则(C_UM)∪(C_UN)= ( )

Ａ．(-1,2)B．(-∞,2]C．(-∞,-1)∪(2,+∞)D．(-∞,-1]∪[2,+∞)

2．设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[,），则点P横坐标的取值范围为 （ ）

A．[-,+∞） B．[-1,0]C．[0,1]D．[,1]

3．设函数是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是 （ ）

4．右图是计算1+3+5+…+99的值的算法程序框图, 那么在空白

的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( )

1. i≤101 B. i≤99
   C. i≤97 D. i≤50
   
   5．若函数f(x)=cos(2x+)-sin(2x+)的图象关于直线
   x=0对称,则= ( )
   Ａ．=k-(kZ)B．=k-(kZ) C．=k+(kZ)D．=k+(kZ)
   6．已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为（ ）
   Ａ．B．C．D．
   7．已知椭圆(a>b>0)离心率为，则双曲线的离心率为( )
   Ａ．B．C．D．
   8．若点P是曲线y＝x²－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小值为 ( 　)
   A．1 B． C． D．
   9．掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为θ，则θ∈(0,]的概率是 （ ）
   A．B．C．D．
   10．斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为 （ ）
   Ａ．1 B．C．D．
   11．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f (x)= x³﹣x²﹣x+在点x=5处的切线上一点,则的最小值是 ( )
   1. B.C.D.

12．函数的定义域为，，对任意，，则不等式的解集是 ( )

Ａ．B．

C．D．

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二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，

13. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积是 .

14.．

15. 已知函数f(x)=x³+ax²﹣a（a∈R），若存在x₀，使f(x)在x=x₀处取得极值，且f(x₀)=0，则a的值为 ．

16．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 .

三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)

17.(本小题满分10分)

已知等差数列中，公差又

（I）求数列的通项公式；

（II）记数列，数列的前项和记为，求

18.(本小题满分12分)

在中，角所对的边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．

19.(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，

∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．

（1）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若PA=AB，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=aln(1+x)+x²-10x

⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间

⑵若f(x)在[1,4]上是单调减函数，求a的取值范围

21.(本小题满分12分)

设椭圆C：+=1(a＞b＞0)过点P(，1)，且离心率e=.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A、B为椭圆的两点，且=，求直线AF₁的斜率.

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.

(1) 若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2) 若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

附加题：1.(5分)函数y=x³-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .

2.(5分)若函数=的图像关于直线=－2对称，则的最大值是______.

3.(5分)函数f(x)= ，x∈[1.5,3]的值域为 .

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2014-2015学年度第二学期期中考试试题

高 二 数 学（理）答案

DACBB DCBBCB AA

13. 32 14. 7 15. 3 16．x-y-3=0

１7. (本小题满分10分)解：（1）

………6分

（2

……………………10分

18(本题满分12分)

解析：（I）由正弦定理得因为所以

（II）由（I）知于是

取最大值2．

综上所述，的最大值为2，此时

19. (本小题满分12分)（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以．…………5分

20.(本小题满分12分)

选做题 第（ ）题（8分）

解：⑴∵…………………………………………1分

∴因此……………………………2分

∴，其定义域为……………3分

…………4分

当，即，或时，函数单调递增

当，即时，函数单调递减

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…6分

⑵∵在上是单调减函数

∴在上恒成立…7分

∴在上恒成立 …………………………8分

∴…………………………………………9分

∵在上，…………………………11分

∴…………………………………………………………12分

21.(本小题满分12分)

(1)由题意知=，+=1，又a²=b²+c²，∴a=2，b=，c=1

故所求的椭圆方程为+=1…………………………………. …...………..…..(6分)

(2)延长AF₁交椭圆B′ 由对称性可知 =

设A(x₁，y₁)，B′(x₂，y₂) = ∴x₂=－2x₁①

当直线AB′斜率不存在时，不符合

当直线AB′斜率存在时，设直线AB的斜率为k，又F₁(0，1) ∴直线AF₁y=kx+1

联立 y=kx+1

+=1 消去y，得(3k²+4)x²+6kx－9=0

∴x₁+x₂= ② x₁x₂= ③

由①②③得k=± 故直线AB的斜率为±……………………..…..(12分)

22.(本小题满分12分)

解　(1)∵f(x)＝ln x＋，∴f′(x)＝－.

∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝－≥0在[2，＋∞)上恒成立，

即a≤在[2，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝，则a≤[g(x)]_min，x∈[2，＋∞)，

∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，

∴[g(x)]_min＝g(2)＝1.

∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1]．

(2)由(1)得f′(x)＝，x∈ [1，e]．

①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上是增函数．

所以[f(x)]_min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)．

②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.

当1

所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a0，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．

所以[f(x)]_min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，

解得a＝(舍去)．

③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．

所以[f(x)]_min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意．

综上a＝e.

附加题：1.(5分)1或102.(5分)163.(5分)(0,3ln2]