广东省佛山一中2016-2017学年高二下学期第一次段考数学（文）试卷

佛山市第一中学高二下学期第一次段考试题(文科数学)

考试范围：选修1-2、1-1、必修2；考试时间：120分钟；命题人：张斌、叶棣萍

相关指数计算公式如下：

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.函数f（x）=从x= 到x=2的平均变化率为（　　）
A.2      B.      C.      D.

2.以下四个命题：

①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X与Y的随机变量K²的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为(　　)

A．① ④ B．② ④ C．① ③ D．② ③

3.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A. B.[0，）∪[，π） C.  D.

4 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值点有（　　）

A.4个B.3个 C.2个 D.1个

5.已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)

A.f＜f B .f＜fC．f(0)＞2fD．f(0)＞f

6.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A.k＞1     B.k＜-1 C.-1＜k＜1     D.-1＜k＜0或0＜k＜1

7．已知双曲线kx²－y²＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是(　　)

1. B. C. D.

8.设双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为，抛物线y²=20x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为(　　)
A.  B.  C.  D.-

9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形是边长为2的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）
A.      B.6      C.      D.5

10.由变量x与y相对应的一组数据（3，y₁），（5，y₂），（7，y₃），（12，y₄），（13，y₅）得到的线性回归方程为=x+20，则=（　）
A.25     B.125     C.120     D.24

11.观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则=（　　）
A.f（x）   B.   C.=   D.=

12.已知函数,,若存在,使得,则的取值范围为( )

A.B.C.D.

二、填空题(本大题共4小题，共20.分)

13.已知点F为抛物线的焦点，点A（2，m）在抛物线上，且,则抛物线的方程为 __ ___ ．

14若函数.在上是单调增函数，则实数a 的范围是__________

15. 已知一个长方体的长、宽、高分别是 ，，，则该长方体的外接球的表面积等于  

16.若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），

|f（x₂）f（x₁）|＜|x₂x₁|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出下列四个函数，其中是完美函数的是 ______ ．
①f（x）=； ②f（x）=|x|； ③f（x）=； ④f（x）=2^x．

三、解答题(本大题共6小题，共70.分)

17. （本小题满分12分）设a，b∈R，函数，

g（x）=e^x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax²＋x－xlnx.

(1)若a＝0，求函数f(x)在定义域上的单调区间，及在上的最值

(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx²＋2x恒成立，求实数b的取值范围

19. （本小题满分10分） 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：
(I)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
(II)在(I)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；
(III)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
下面的临界值表供参考：
独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．

20. （本小题满分12分）如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D为AB中点．
(1)求证：BC₁∥平面A₁CD；
(2) 求证：AB₁⊥A₁C；
(3)求C₁到平面A₁CD的距离．

21. （本小题满分12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且椭圆上的点到点F的距离最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且|AB|=，求直线l的方程．



$来&源：

22.（本小题满分12分）

已知函数,．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）当时，证明：.

佛山市第一中学高二文科数学下学期第一次段考试题答案

一、选择题（共12个小题，每小题5分，满分60分）

1.B    2.D    3.B    4. D    5.  A  6.D    7.A    8.C    9.A    10.C    11.D    12.B   
二、填空题（共4个小题，每小题5分，满分 20分）

13.14. (－∞，2] 1516.① ③
三、解答题（共6小题，满分 70分）

17.（本小题10分）（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1． …………4分
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²， …5分
当a²≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增， …6分
当a²＞1时，，此时

若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增． …………9分
综上：当a²≤1时，函数f（x）单调递增区间为R

当a²＞1时, 函数f（x）单调递减区间

函数f（x）单调递增区间为和 …10分
18.（本小题12分）解：(1)当a＝0时，f(x)＝x－xlnx，函数定义域为(0，＋∞)． … 1分

f′(x)＝－lnx，由－lnx＝0，得x＝1. … 2分

当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)的增区间是(0,1)；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)的减区间是(1，＋∞)．

∵,,

函数f(x)在上的最小值为0，最大值为1 ……… … 5分

(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1， ……… … 6分

∴f(x)＝x²＋x－xlnx，

由f(x)≥bx²＋2x，得(1－b)x－1≥lnx.

∵x＞0，∴b≤1－－恒成立． … 9分

令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝， ………10分

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴g(x)_min＝g(1)＝0，∴实数b的取值范围是(－∞，0]． …… 12分
19.（本题10分）解：(I)由题意，男生抽取6×=4人，女生抽取6×=2人；2分
(II)在(I)中抽取的6人中任选2人，4名男生分别是A、B、C、D，2名男生分别是E、F，可能抽的结果有（AB），(AC)，(AD)，(AE)，(AF)，(BC)，(BD)，(BE)，(BF)，(CD)，(CE)，(CF)，(DE)，(DF)，(EF)，共15种 ……… 5分

恰有一名女生(AE)，(AF)， (BE)，(BF)，(CE)，(CF)，(DE)，(DF)，共8种 …… 6分

恰有一名女生概率P==； ………7

(III)假设高中生是否愿意提供志愿者服务与性别无关 ……… 8分

K²==8.333＞6.635， ……… 11分

所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关． ……… 12分
20.（本小题10分）(1)证明：连接AC₁交A₁C于O点，连接DO，则O为AC₁的中点， 1分
∵D为AB中点，∴DO∥BC₁，
又∵DO⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD． ……… 4分

(2)证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C⊂平面A₁ACC₁，
∴A₁C⊥B₁C₁， ……… 6分
连接AC₁，∵AC₁⊥A₁C，A₁C 与B₁C₁，相交于C₁

∴A₁C⊥平面AB₁C₁． AB₁在平面AB₁C₁上

所以AB₁⊥A₁C ……… 8分
(3)解：过点作DE⊥AC于E, ∵平面ACB⊥平面A₁ACC₁，平面ACB平面A₁ACC₁=AC,

DE⊥平面A₁ACC₁， DE=BC=1

AD= ,CD= ……… 9分

=………10分

∴h=2

h= ……… 11分

∴到平面CD的距离为 ……… 12分

21.（本小题12分）解：（1）由题意可得c=1， ……… 1分
椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1， ……… 2分
解得a=2，b==， ……… 3分
即有椭圆方程为+=1； ……… 4分
（2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1，
代入椭圆方程，解得y=±，则|AB|=3不成立； ……… 5分
设直线AB的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0， ……… 7分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-，x₁x₂=， ……… 9分
则|AB|=•
=•=， ……… 11分
即为=，解得k=±1， 则直线l的方程为y=±（x+1）．……… 12分
22. （本小题12分）（Ⅰ）解：因为，

所以.……………………………………………………………1分

因为曲线在点处的切线斜率为，

所以，解得.…………………………………………………2分

（Ⅱ）证法一：因为,，

所以等价于．

当时，．

要证，只需证明.………………4分

设，则.

设，则．

所以函数在上单调递增．…………………6分

因为，，

所以函数在上有唯一零点，且.…8分

因为，所以，即.………………9分

当时，；当时，，

所以当时，取得最小值.………………………………………10分

所以.

综上可知，当时，. ……………………………………12分

思路2：先证明．……………………………………………5分

设，则．

因为当时，，当时，，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．

所以．所以（当且仅当时取等号）．…7分

所以要证明， 只需证明．…8分

下面证明．

设，则．

当时，，当时，，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．

所以．

所以（当且仅当时取等号）．……………………………10分

由于取等号的条件不同， 所以．

综上可知，当时，. ……………………………………12分