广东省佛山一中2016-2017学年高二下学期第一次段考数学（理）试卷

2016-2017学年下学期高二第一次段考数学(理科)试题

1. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．
   1. 若函数在点处的切线斜率为1，则极限的值是（ ）
      
      2.如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
      
      A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数
      C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值
      3.设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。是两个不同的平面，错误！未找到引用源。是直线且错误！未找到引用源。．“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（ ）
      A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
      C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
      4.抛物线y＝ax²的准线方程为y＝－1，则实数a的值是(　　)
      1. B. C．4 D．2

5. 如图，长方体中，，

则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

6.若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则等于（ ）。

A．11B．9 C．5D．3

7．已知f(x)＝x³－6x²＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0；　　②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0；　　④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是(　　)

A．①③　B．①④ C．②③　D．②④

8.函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f(2－x)，当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则(　　)

A．a<b<c　 B．c<a<bC．c<b<a　D．b<c<a

9. 如图，已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ( )．

10. 已知A、B为抛物线C：y²＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为(　　)

A．±B．± C．±D．±

11. 设a∈R，函数f(x)＝e^x＋a·e^－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)

A．ln2　 B．－ln2 C．　D．－

12. 椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为和，则的值是 ( )

A.B.C.D.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．

13.已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．

14．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．

15.如图，在直三棱柱中，，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）。若，则线段的长度的取值范围是     。

16.正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为________

1. 解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
   17. （本小题满分10分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中，为常数，已知销售价格为错误！未找到引用源。 元/千克时，每日可售出该商品 千克．
   1. 求的值；

(2) 若该商品的成本为 错误！未找到引用源。元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

18. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，。

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

19． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝alnx－，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

20. （本小题满分12分）

已知函数，

（1）若，求的极值；

（2）求在区间上的最小值.

21（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，，,，，，点为棱的中点。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。

22. （本小题满分12分）

已知点，椭圆：（）的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点。

（1）求的方程；

（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程。

1. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
   CCB A D B C B A D A D
2. 填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
   13. ln2．14．－＝1(x>3) 15. ． 16.
   三、解答题．本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．中/华-资*源%库
   17.（本小题满分10分）
   解：(1) 因为 时，，所以 …..........................2分
   (2) 由（1）可知，该商品每日的销售量
   错误！未找到引用源。…..........................3分
   所以商场每日销售该商品所获得的利润
   错误！未找到引用源。…..........................5分
   从而，
   错误！未找到引用源。…..........................6分
   于是，当 变化时，错误！未找到引用源。的变化情况如下表： 由上表可得， 是函数 错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。 内的极大值点，也是最大值点． ..........8分
   所以，当 时，函数 错误！未找到引用源。 取得最大值，且最大值等于 ． .............9分
   所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．.............10分
   18.（本小题满分12分）
   1）因为平面平面，平面，
   且，所以平面，所以，
   又因为，，所以平面；       ......3分
   （2）如图所示建立空间直角坐标系，
   设直线与平面所成角为，根据已知条件解出各点坐标，、、、，则有，，，设平面的法向量为，由，得，所以，
   又因为直线与平面所成角为锐角，所以所求线面角的正弦值为；      . .....8分
   （3）假设存在这样的点，
   设点的坐标为，则，要使直线平面，
   即需要求，所以，解得，此时。      ......12分
   19. （本小题满分12分）
   1. 函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝＋.
      又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，..
      由于f′(x)＝.所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1. ....4分
   2. 当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f′(x)>0在定义域上恒成立，.............6分

即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－∈(0，＋∞)．.............9分

当x∈(0，－)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．.............12分

20. （本小题满分12分）

解：(1) 当时，，

…..........................1分

由得，…..........................2分

当时，； 当时，； .........3分

所以的极大值为，极小值为. …..........5分

(2)的定义域为，

.........6分

由得，…..........................7分

1. 若，即，，所以在上单调递增，

的最小值为； …..........................8分

② 若，即，

当时，；当时，，

所以是的极小值点，

的最小值为； …..........................10分

③ 若，即，，所以在上单调递减，

的最小值为； ….........................11分

综上，..............12分

21. （本小题满分12分）

(Ⅰ)证明:底面ABCD,,
以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,
建立空间直角坐标系,
根据题意,,,,,,,,.................3分

(Ⅱ)解:,,,由点F在棱PC上,设,,,
,,计算得出,................9分

设平面FBA的法向量为,

则,取,得,..........................3分

取平面ABP的法向量,则二面角的平面角满足:
,二面角的余弦值为.......12分

22. （本小题满分12分）

（1）设，由条件知，，得。又，所以，，故的方程为。..........................4分

（2）根据题意，直线斜率存在，设：，，，将代入得。.........................6分

当，即时，，。

从而。.........................8分

又点到直线的距离，所以的面积。 ..........................10分

设，则，。因为，当且仅当，即时等号成立，且满足。所以，当的面积最大时，

的方程为或。..........................12分